| Research Abstract |
次数d,余次元eの射影多様体Xは,次数d-e+1以下の超曲面の共通部分E(X)と一致するかという射影多様体の埋込みの性質に関する問題を中心に研究を行った.B(X)を,Xが双有理に写されない線形射影のXの外の中心点の集まりとし,C(X)を,Xが双有理に写されない線形射影のX内の中心点の集まりとする.このとき,E(X)とXは,B(X)を除くと集合として一致し,また,E(X)とXは,B(X),C(X)そしてXの特異点集合を除くとスキームとして一致することが分かっている.そこで,昨年度に引き続き,空でないB(X)やC(X)を持つような射影多様体Xを特徴づけることを重点に研究を行った.その結果,C(X)が空でない射影多様体Xは,大雑把にいって,ある多様体上の錐の余次元が1の部分多様体であることがわかった.さらに,錐の特異点解消と,そこでの多様体Xの引き戻しの特徴づけを,一部まだ不十分なところが残っているが,ほぼ行うことができた.これをもとにして,第一に,錐の特異点解消の中でのXの引き戻しを定義する方程式から,C(X)をXから分離する超曲面を構成する方法を,得ることができた.これらの超曲面について十分な情報を得るには至らなかったが,この点は次年度以降の研究課題であることが明確になった.第二に,C(X)の既約成分の次元に関する不等式の精密化が得られた.C(X)の既約成分Lの次元は,LでのXのガウス写像が定値のときは,Xの特異点集合の次元よりも高々1大きく,LでのXのガウス写像が非定値のときは,Xの特異点集合の次元よりも高々2大きいことがわかった.LでのXのガウス写像が非定値のときは,Xは有理曲線上のスクロールの既約な因子の像になっていることもわかったので,特に,dim C(X)=1となる非特異多様体Xを特徴づけることができた.
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