写像類群に関わる有界コホモロジーとシンプレクティック・トポロジー

2009 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20540056
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 神田 雄高 Hokkaido University, 大学院・理学研究院, 助教 (30280861)
• Keywords: 写像類群 / 有界コホモロジー

Research Abstract

21年度はLooiengaによる写像類群の表現の自然な一般化ρについて、その像の大きさを評価する事に専念した:
閉曲面Σgのガロワ被覆Gを決めるごとに、写像類群Mgからある適当な実代数群の格子Γへの表現ρが定まる。この表現の像の決定はそれほど自明な問題ではない。Gがアーベル被覆の場合は、既に[Γ:Im(ρ)]<∞であると知られている。今やりたいのは被覆Gをうまく選んで、[Γ:Im(ρ)]=∞となる表現の存在を示す事である。もしこのような表現があれば、Γの特性類Φのグロモフ・セミノルムより、包含写像τ:Im(ρ)→Γによる引き戻しτ*(Φ)のグロモフ・セミノルムの方が真に小さくなると期待され、写像類群の有界コホモロジーについて非自明な結論が導かれる。
これまでの研究で、Γからある無限位数アーベル群Aへの捩じれ準同型Λが存在し、Im(ρ)がKer(Λ)に含まれる事が判った。もしΛの像が十分大きければ、[Γ:Im(ρ)]=∞が従うので、Γの各生成元xにたいして、Λ(x)を具体的に計算したい。計算の手順としては、各生成元xにたいして、ある幾何学的図式を書き下し、そこから曲面群の適当な商群に関する群環の元を取り出し、代数的な計算に持ち込む。代数的な部分は一般論があるが、計算に使う幾何学的図式を効率よく書き下す方法が不十分なので、まだ非自明な結果は出せていない。いずれにせよ計算機に頼らすに手計算でできる範囲だと思う。