写像類群に関わる有界コホモロジーとシンプレクティック・トポロジー

2010 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 20540056
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 神田 雄高 北海道大学, 大学院・理学研究院, 助教 (30280861)
• Keywords: 写像類群 / 有界コホモロジー / K理論

Research Abstract

Looiengaによる写像類群の表現を一般化したρについて、その像の大きさを上から評価する事をずっと考えてきた。この表現の像Im(ρ)は定義から、ある実代数群の有理整数値点のなす群Γになるが、申請者はこれが全射であるための障害を代数的K群を用いて定義した。この障害はΓからある副有限アーベル群Aへの捩れ準同型τとして定式化される。Aはρをうまくとれば無限群になるが、このときIm(ρ)がΓの指数無限部分群である可能性が期待できる。またもしIm(ρ)からΓへの包含写像が有界コホモロジーに導く引き戻し準同型のノルムが1より真に小さくなれば非常に興味深く、写像類群の有界コホモロジーについて非自明な結論が得られるだろう。さてこの「障害」の計算方法であるが、原理的にはある比較的単純な幾何学的図式を書き下して、そこから適当な群に関する群環係数の行列をとりだし、後は代数的な計算にもちこめば良い。原理は簡単だが、本質的に非可換な代数的対象をあつかうので、「障害」が非自明なことはまだ証明できていない。しかし最近は単体ホモトピー理論や手術理論を用いた定式化が有効だと考えており、この方面からのアプローチを考えている。また本研究における写像類群の有限次表現の構成自体は、たとえば有限階数の自由群の外部自己同型群にも応用できるので、こちらの方面からあたらしい現象を探るのも有効ではないかと考えている。