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2009 Fiscal Year Annual Research Report

周期的な点相互作用に従う1次元ディラック作用素のスペクトルについて

Research Project

Project/Area Number 20540182
Research InstitutionTokyo Metropolitan University

Principal Investigator

吉冨 和志  Tokyo Metropolitan University, 大学院・理工学研究科, 准教授 (40304729)

Keywordsディラック作用素 / 周期ポテンシャル / 点相互作用 / スペクトラルギャップ / ディオファントス近似 / 非斉次近似定数
Research Abstract

周期的な点相互作用に従う1次元Dirac作用素のスペクトルについて考察を行った。スペクトラルギャップの幅の漸近的性質と、作用素に含まれるパラメータの数論的性質の関係を得た。Dirac作用素についての従来の研究では、この種の関係は全く得られていないので、当該研究で得られた結果は重要かつ画期的であるといえる。ここで、得られた結果のうちで典型的なものについて述べる。κ∈(0,2π)とし、βを0でない実数とする。格子{0,κ}+2πZをΓと表す。L^2(R)^2上のDirac作用素Hを次で定める:
H=-iσ_1(d/dx),x∈R-Γ
Dom(H)={(f_1,f_2)^T;f_1∈H^1(R),f_2∈H^1(R-Γ),f_2(x+)-f_2(x-)=-iβf_1(x)for x∈Γ}
ただし、σ_1はPauli行列を表す。Hは自己共役作用素であり、そのスペクトルはバンド構造を持つ。Hのスペクトラルギャップを自然に並べたものをG_j(j∈Z)とする。τ=2π-κとおく。κ_o=τ/κは無理数であると仮定する。
θ=((1-κ_o)/π)tan^<-1>(2/β),W=2π^2(4+β^2)^<1/2>|β|/(4π^2+β^2κτ)
とおく。また、x∈Rに対し、∥x∥=min{|x-n|;n∈Z}とし、
M±(κ_o,θ)=1iminf_q→∞∥±qκ_o±θ∥(複号同順、qは整数)
とおく。M_±(κ_o,θ)を非斉次近似定数とよぶ。得られた結果は次のように述べられる。
定理liminf_j→∞j|G_±j|=WM_±(κ_o,θ)

  • Research Products

    (7 results)

All 2010 2009

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (5 results)

  • [Journal Article] Dirac operators with periodic point interactions-spectral gaps and inhomogeneous Diophantine approximation2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Journal Title

      Michigan Mathematical Journal 58

      Pages: 363--384

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Inverse spectral problems for singular rank-one perturbations of a Hill operator2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Journal Title

      Journal of the Australian Mathematical Society 87

      Pages: 421-428

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Inverse scattering problems for singular rank-one perturbations of a selfadjoint operator2010

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Organizer
      筑波ワークショップ
    • Place of Presentation
      筑波大学大学院数理物質科学研究科数学専攻
    • Year and Date
      2010-03-10
  • [Presentation] Inverse scattering problems for singular rank-one perturbations of a selfadjoint operator2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Organizer
      筑波大学解析セミナー
    • Place of Presentation
      筑波大学大学院数理物質科学研究科数学専攻
    • Year and Date
      2009-12-09
  • [Presentation] Inverse scattering problems for singular rank-one perturbations of a selfadjoint operator2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Organizer
      RIMS研究集会「スペクトル・散乱理論とその周辺」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Year and Date
      2009-12-03
  • [Presentation] Inverse spectral problems for singular rank-one perturbations of a Hill operator2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Organizer
      International Conference on Complex Analysis and Related Topics
    • Place of Presentation
      University of Turku, Turku, Finland
    • Year and Date
      2009-08-17
  • [Presentation] Inverse spectral problems for singular rank-one perturbations of a Hill operator2009

    • Author(s)
      吉冨和志
    • Organizer
      Sixth Advanced Course in Operator Theory And Complex Analysis
    • Place of Presentation
      University of Sevilla, Sevilla, Spain
    • Year and Date
      2009-06-12

URL: 

Published: 2011-06-16   Modified: 2016-04-21  

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