2010 Fiscal Year Annual Research Report
周期的な点相互作用に従う1次元ディラック作用素のスペクトルについて
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20540182
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
吉冨 和志 首都大学東京, 大学院・理工学研究科, 准教授 (40304729)
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| Keywords | ディラック作用素 / 周期ポテンシャル / 点相互作用 / スペクトラルギャップ / ディオファントス近似 / 非斉次近似定数 |
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| Research Abstract |
周期的な点相互作用に従う1次元Dirac作用素のスペクトルについて考察を行った。スペクトラルギャップの幅の漸近的性質と、作用素に含まれるパラメータの数論的性質の関係を得た。Dirac作用素についての従来の研究では、この種の関係は全く得られていないので、当該研究で得られた結果は重要かつ画期的であるといえる。ここで、得られた結果のうちで典型的なものについて述べる。κ∈(0,2π)とし、βを0でない実数とする。格子{0,κ}+2πZをΓと表す。L^2(R)^2上のDirac作用素Hを次で定める:[numerical formula]
ただし、σ_1はPauli行列を表す。Hは自己共役作用素であり、そのスペクトルはバンド構造を持つ。Hのスペクトラルギャップを自然に並べたものをGj(j∈Z)とする。τ=2π-κとおく。κ_0=τ/κは無理数であると仮定する。[numerical formula]
とおく。また、x∈Rに対し、||x||=min{|x-n|;n∈Z}とし、M±(κ_0,θ)=liminf_<q→∞>||±qκ-0+θ||(複号同順、qは整数)
とおく。M±(κ-0,θ)を非斉次近似定数とよぶ。得られた結果は次のように述べられる。
定理liminf_<j→∞>j|G+j|=WM_+(κ-0,θ)
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