2021 Fiscal Year Annual Research Report
New developments in mathematical analysis of spatio-temporal nonuniform dynamics in quasilinear hyperbolic-parabolic conservation laws
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20H00118
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
隠居 良行 東京工業大学, 理学院, 教授 (80243913)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
西田 孝明 京都大学, 情報学研究科, 名誉教授 (70026110)
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (70144631)
水町 徹 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (60315827)
福本 康秀 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (30192727)
鈴木 政尋 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (30587895)
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 準線形双曲放物型方程式系 / 圧縮Navier-Stokes方程式 / 分岐 / 安定性 / ダイナミクス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
隠居と西田は無限層状領域における塩分濃度の変動を考慮に入れた非圧縮性熱対流方程式に対する人工圧縮近似方程式を考察し，人工Mach数ゼロの極限でそのHopf分岐が非圧縮熱対流方程式のHopf分岐解に収束することを証明した．また，隠居は圧縮性Taylor渦の空間非周期的摂動に対する線形化安定性解析を完成させた．西田はRayleigh-Benard 熱対流の二次元問題のロール型の解について，Rayleigh 数を上げる時，現在の解析では扱えない定常解から周期解を経て周期倍分岐を起こして、chaoticな挙動に至る路を計算機援用解析として見出した．こうして非線形偏微分方程式の場合にもchaosに至る経路に周期倍分岐のシナリオがある事を示した．川島は双曲型平衡則系モデルに対し，構造保存型差分解の時間大域存在を示した．また，記憶型拡散項を持つ対称双曲系の解の減衰評価を示した．さらに，指数関数の記憶核の場合に，記憶型消散項を持つ空間1次元対称双曲系の解の漸近形を求めた．前川は緩和双曲型線形偏微分方程式について研究を行い，エネルギー消散評価と係数行列の代数的な条件を一般的な枠組みで与えた．福本は浅水流の速度不連続面の不安定性に関して不連続面を境に深さが不連続に変わる効果を調べ，深さが等しいときに臨界フルード数が極小値2.82をとることを証明した．鈴木は流体力学における基礎方程式の時間大域解の漸近挙動を解析した．主な成果としては，摂動半空間においてNavie-Stokes方程式の定常解の存在と安定性を，半空間においてBoltzmann方程式の時間周期解の存在と安定性を証明した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Mach数ゼロの特異極限における圧縮性分岐解の非圧縮性分岐解への収束については，ある種の定常分岐解の場合はすでに示されていたが，Hopf分岐解の場合の結果は皆無であった．今回，人工圧縮近似方程式のHopf分岐解の人工Mach数ゼロの極限における非圧縮性熱対流方程式のHopf分岐解への収束証明を完成させたことにより，圧縮性Navier-Stokes方程式の低Mach数におけるHopf分岐解析の道が開けてきた．また，圧縮性Taylor渦の空間非周期的摂動に対する線形化安定性解析を終えたことにより，非線形安定性解析に研究を進めることができるようになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
人工圧縮近似方程式のHopf分岐解析をもとに圧縮性Navier-Stokes方程式のHopf分岐解析に対する理論構築を目指す．圧縮性Navier-Stokes方程式に対する中心多様体理論を構築し，圧縮性Taylor渦の空間非周期的摂動に対する線形化安定性解析と組合せることにより，圧縮性Taylor渦の空間非周期的な摂動に対する安定性解析を推進する．また，圧縮性熱対流方程式のMach数が小さい場合の対流発生点近傍における線形化安定性解析を試みる．
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