Randomization of persistent homology and its interaction with Schubert calculus

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20H00119
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Medium-sized Section 12:Analysis, applied mathematics, and related fields
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Hiraoka Yasuaki 京都大学, 高等研究院, 教授 (10432709)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 池田 岳 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40309539) ; 赤木 和人 東北大学, 材料科学高等研究所, 准教授 (50313119) ; 白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: パーシステントホモロジー / ランダムトポロジー / 確率論 / シューベルト計算

Outline of Final Research Achievements

In this project, we conducted several research to deeply understand the mathematical structures of multi-parameter persistence modules based on probability theory and combinatorics. Regarding its applications, we also performed structural analysis of several materials using the methods developed in this project. The basic idea is to focus on the randomness inherent in real data and try to find stable decomposition structures in the sense of probability theory. We clarified the relationship between persistence diagrams and Schubert varieties and found a natural multiplication on persistence diagrams. Furthermore, we succeeded in generalizing the interval approximation, and obtained estimates about the multiplicities of non-intervals under a certain random topology setting.

Free Research Field

トポロジカルデータ解析

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ビッグデータ時代の到来を受け、膨大かつ複雑なデータに対する数学的なデータ記述子を開発する必要性が高まっている。この背景の元、本研究ではデータの「かたち」と「うごき」に着目するパーシステントホモロジーの数学研究に主に取り組んだ。特にこのプロジェクトではデータを詳細に調べるパラメータが2つ以上の問題を扱っている。観測データにはノイズがのっていることを想定し、適切な確率論的状況のもとで新規データ記述子を開発することに成功した。