2023 Fiscal Year Annual Research Report
多重散乱情報をもちいる次世代イメージング手法の数理解析
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20H01821
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川越 大輔 京都大学, 情報学研究科, 助教 (30848073)
大石 直也 京都大学, 医学研究科, 特定准教授 (40526878)
吉川 仁 京都大学, 総合生存学館, 特定教授 (90359836)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 逆問題 / トモグラフィ / 輻射輸送方程式 / 数値解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず，陽電子断層トモグラフィ (Positron Emission Tomography) の部分観測の数理モデルとして，輻射輸送方程式の境界からの流出境界条件の一部を既知する非斉次項決定逆問題を考察した．前年までに数学解析による定性的な不安定性の解明，数値計算例は発表していたが，不安定性があるにも関わらず数値計算において誤差の増大が深刻でない理由が不明であった．これに対して，数値計算過程で現れるCauchy型の特異核をもつ積分方程式を離散化した連立一次方程式の条件数の評価が高々多項式増大であることを証明し，不安定性の定量的説明を与え，数値計算結果に対して数値解析理論から計算結果の信頼性について説明を与えた．同時に，正則化をおこなった場合は条件数が一様有界になることも説明された．
次に，ひかりトモグラフィの数理モデルのひとつである輻射輸送方程式の減衰係数決定逆問題に対して，分担者が得ていた理論を２次元の場合に数値計算をおこない，減衰係数の定性的性質，特に不連続性が再構成されることを示し，論文として発表した．さらに前半の理論とあわせて，部分観測の場合にも減衰係数が部分的に再構成される数値計算結果も得た．これらの数値計算では観測データは数値実験によるデータを利用しており，前年度までに得ていた解の不連続性を検出し得るスキーム，および本助成で購入した並列計算機を利用した大規模数値実験をおこなったものである．３次元についても同様の数値計算結果を得るに至った．
これらはいずれも，伝播中に多重散乱される信号からの再構成の数学解析・数値解析としての結果であり，次世代イメージングの基礎理論に寄与するものと研究期間を総括した．
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Remarks |
(1)は丸め誤差を任意に小さくする数値計算環境を公開するものであり，不安定性をもつスキームでの丸め誤差の影響を定量的に評価するものである．(2)はフランスのグループを中心に開発されている有限要素法の数値計算環境であり，本研究では可視化に関するモジュールの実装をおこない公開している．
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