2021 Fiscal Year Annual Research Report
動的境界条件下における粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の解析
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20J23013
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
香川 渓一郎 早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2020-04-24 – 2023-03-31
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| Keywords | カーン・ヒリアード方程式 / 斉次ディリクレ境界条件 / 動的境界条件 / 極大単調作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
斉次ディリクレ境界条件下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題の解をアレン・カーン方程式，カーン・ヒリアード方程式，粘性拡散方程式の解に漸近させる極限問題を扱った研究成果が国際研究誌 Journal of Mathematical Analysis and Applications に出版された．この論文では，昨年度に Advances in Mathematical Sciences and Applications に出版された結果である，粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題の解を基に議論を進めた．非線形項を極大単調項と連続関数または極大単調作用素である摂動項との差に分解することで，同種の問題を扱った先行結果に比べ，条件を大幅に緩めた．また斉次ディリクレ境界条件下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の時間周期問題に関する結果を論文にまとめ，投稿準備に取り掛かっている．
動的境界問題では境界上での時間発展の仕方により様々な問題設定をすることが可能である．その中で最も単純な動的境界条件の下でのカーン・ヒリアード方程式の初期値問題を，離散変分導関数法に基づく構造保存スキームで空間1次元で数値シミュレーションを行った先行研究の結果を再現することに成功した．また，数値計算スキームを空間2次元に拡張した場合についても数値シミュレーションを実施した．得られた数値計算結果に関して引き続き解析を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
新型コロナウイルスの影響により研究協力者との共同研究に支障が生じ，研究計画に遅れが出ている．
斉次ディリクレ境界条件下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題の解をアレン・カーン方程式，カーン・ヒリアード方程式，粘性拡散方程式の解に漸近させる極限問題を扱った研究成果に関する論文が1本出版され，斉次ディリクレ境界条件下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の時間周期問題を扱った研究成果に関する論文を1本投稿準備中である．
またカーン・ヒリアード方程式の動的境界問題について数値シミュレーションを行った先行結果の再検証，結果の拡張を行い，得られた結果について解析を進めている．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和４年度はGoldstein, Miranville, SchimpernaらによるGMSモデル又はLiu, WuらによるLWモデルの動的境界条件の下での粘性項付きカーン・ヒリアード方程式の初期値問題に関する適切性を，非線形項の条件を拡張した場合について調べる．GMSモデルとLWモデルでは化学ポテンシャルに関する境界条件の設定が異なる．これが解決した場合，次に領域内部や境界における方程式の係数に関する極限問題に取り組む．
また動的境界問題の数値シミュレーション結果を，カーン・ヒリアード方程式で通常課されるNeumann境界条件の下での数値シミュレーション結果と比較することで，動的境界条件が領域内部の現象にどのような影響を及ぼすかを明らかにすることを目指す．
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