2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of algebraic methods for Morita dual of finite tensor categories and related algebraic structures
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20K03520
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
清水 健一 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70624302)
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2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ホップ代数 / テンソル圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 投稿中だった柴田大樹氏 (岡山理科大学) との共著論文 "Modified Traces and the Nakayama Functor" が雑誌 Algebras and Representation Theory に掲載された。
(2) 中山関手は有限次元代数の表現論において基本的な概念である。柴田氏との共同研究において、同様の関手を有限元とは限らない余代数に対して定義し、その基本的な性質を明らかにするとともに、ホップ代数とテンソル圏の理論への様々な応用を与えた。余代数に対する中山関手は、有限次元代数の場合と同様の普遍性によって特徴づけられる。また、余代数の様々な表現論的性質も反映する。例えば、余代数 C が準余フロベニウスであるための必要十分条件は、C-余加群の圏上の中山関手が圏同値となることである。中山関手を用いることで、ホップ代数の余フロベニウス性などに関する結果の新しい証明を与えることができた。また、フロベニウステンソル圏（アーベル圏としては余フロベニウス代数の余表現の圏と同値であるようなテンソル圏）における四重双対公式も得られた。これは有限テンソル圏における四重双対公式および余フロベニウスホップ代数に対する Radford S4-formula を一般化するものである。以上の結果はプレプリント arXiv:2110.08739 として公開済みである。
(3) ユニモジュラー性はホップ代数やフロベニウステンソル圏に対して定義される重要な性質である。有限テンソル圏の森田双対について調べ、それがいつユニモジュラーになるかを決定した。この結果については Mini workshop on "Lie algebras, Hopf algebras and related topics" (富山大学) で発表済みである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で示したように、今年度はホップ代数とテンソル圏に関する様々な結果を得ることができた。また、何件かの研究発表も行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
口頭発表などはしているものの論文としてまとめられていない結果が多々あるため、それらについてまとめたい。また、これまでの圏論的な研究の進展から、ホップ代数の余イデアル部分代数などの研究の重要性が高まっている。これらについても研究を進めたい。
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| Causes of Carryover |
予算のうちのいくらかは国際研究集会に参加するために申請していたものであるが、昨今の情勢により、参加できなかった。次年度以降では、適切かつ有効な形で予算を使用することを考えている。
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