2022 Fiscal Year Research-status Report
Study of algebraic methods for Morita dual of finite tensor categories and related algebraic structures
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20K03520
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| Research Institution | Shibaura Institute of Technology |
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Principal Investigator |
清水 健一 芝浦工業大学, システム理工学部, 准教授 (70624302)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ホップ代数 / テンソル圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 投稿中だった単著論文 "Pivotal structures of the Drinfeld center of a finite tensor category", "Ribbon structures of the Drinfeld center of a finite tensor category" および柴田大樹氏 (岡山理科大学) との共著論文 "Nakayama functors for coalgebras and their applications to Frobenius tensor categories" が受理された。
(2) 有限アーベル圏上に線形かつ右完全なモナドが与えられているとき、そのモナド上の加群の圏はまた有限アーベル圏となる。モナドに関する多少の技術的仮定の下、このような圏の中山関手の記述を与えた。これにより、組みひも有限テンソル圏におけるホップ代数の表現圏や、ある種の関手圏の中山関手の表示が得られる。また、これらの結果を用いて、余イデアル部分代数の表現圏のユニモジュラー性の判定条件についても考察した。以上の結果はプレプリント "Nakayama functor for monads on finite abelian categories" (arXiv:2208.08203) として公開中である。
(3) 柴田大樹氏と共同で、中山関手の理論を用いてフロベニウス・テンソル圏について研究した。特に、フロベニウス・テンソル圏が完全列に関して閉じていることや、アフィン代数群の表現圏を含むようなテンソル圏の反同変化 (de-equivariantization) のフロベニウス性の判定条件などが得られた。これらの結果は "Exact sequences of Frobenius tensor categories" (arXiv:2303.14687) として公開中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
余代数や局所有限アーベル圏の中山関手の基礎理論を築くことができたが、これにより、想像以上の多くの結果が得られた。また、これらの内容を研究集会などで発表することもできた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で示したように、余代数や局所有限アーベル圏の中山関手の基礎理論は、テンソル圏やテンソル圏の作用する圏の研究に極めて有効であることが明らかになってきている。研究のひとつの方向性としては、中山関手や、その相対セール関手との関係について詳しく調べることが挙げられる。また、そのような理論の応用についても多くのアイデアが考えられるため、これらを実現していきたい。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会に参加するなどとして予算を申請していたが、コロナウイルスなどの影響でオンライン開催に変更されるなどしたため、次年度使用額が生じた。次年度は国際研究集会に参加する機会もあるため、国際研究発表のための経費として適切に使用していきたいと考えている。
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