2023 Fiscal Year Research-status Report
Cohomology of Coxeter groups, Artin groups, and Coxeter quandles
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20K03600
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
秋田 利之 北海道大学, 理学研究院, 教授 (30279252)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
吉永 正彦 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (90467647) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 群コホモロジー / クロス加群 / カンドル / ラック / Wirtinger表示 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）結び目群のWirtinger表示と類似の表示をもつ群をWirtinger群と呼ぶ。Wirtinger群は結び目群、曲面結び目群やn次元結び目群、有向閉多様体のユークリッド空間への余次元2の埋め込みの補空間の基本群、ブレイド群と純ブレイド群、Artin群、Thompson群など多くの重要な群を含む広いクラスである。Kuz'min (1986)は与えられた群がWirtinger群であるための障害を群の２次ホモロジー群を用いて記述した。代表者は高瀬壮太氏（代表者の元学生）との共同研究において、Eisermannによるカンドルの2次ホモロジー群に関する公式にヒントを得て、Kuz'minの結果を精密化することに成功した。この結果は既に論文にまとめKobe Journal of Mathematicsに掲載が決まっている。
（２）自由群、自由アーベル群、自由R加群、自由Lie代数などのように、与えられらた代数系の自由対象は代数系の研究において基本的である。自由クロス加群 (J. H.C. Whitehead, 1940年代)、自由カンドル(Joyce, 1982)などの構成は既知であったが、添加ラック (augmented rack) 及び添加カンドル (augmented quandle) に対する自由対象に関する研究はこれまでなかった。代表者は高瀬壮太氏との共同研究において「自由添加ラックと自由添加カンドルの存在と一意性」「自由添加ラックのカンドル化が自由添加カンドルであること」「自由添加カンドルのクロス加群化が自由クロス加群であること」などを証明し、特に自由添加ラックの重要性をあらわにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は(1) K(π,1)予想、(2) ホモロジー安定性、(3) Coxeter群、Artin群、Coxeterカンドルの付随群の(コ)ホモロジーの関係、(4) Coxeterカンドル のコホモロジー、(5) 放物的部分群構造を持つ群への一般化の5つのテーマからなる。
概要欄(1)で述べたWirtinger群に関する研究は (i) 本研究の主要な対象であるArtin群はWirtinger群の重要な例であること、従ってArtin群に対しても適用可能であることn (ii) 任意のカンドルの付随群はWirtinger群であり、逆に任意のWirtinger群はカンドルの付随群として実現できることから本研究の研究テーマと深く関わっている。
また概要欄(2)で述べた添加ラック、添加カンドル、クロス加群に対する自由対象の研究は、自由クロス加群からWirtinger群が得られること、自由添加ラックのクロス加群化として自由クロス加群が得られること、従ってWirtinger群の研究における自由添加ラックの重要性を顕にしたことから、研究テーマ(3)と(4)の進展に大きく寄与するものと考えられる。
これらの研究結果から本研究はおおむね順調に進展していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度に、カンドルの随伴群がWirtinger群というより広い群に属していることに気づいていたが、さらにWirtinger群、添加ラックと添加カンドル、クロス加群などの間に密接な関係が関係があることがわかった。今後はこれらの関係性に着目してCoxeter群、Artin群、Coxeterカンドルのコホモロジーをより広い視点から研究したい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響で参加を予定していた研究集会が中止になった。また対面を予定していた研究連絡が相手側の意向によりオンラインとなった。次年度は成果発表と研究連絡のための国内旅費と消耗品に使用する予定である。既に6月下旬（那覇）と9月中旬（東京）の研究集会で成果発表することが決まっている。
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