2023 Fiscal Year Research-status Report

微分方程式の適切性理論－ベクトル空間の枠を超えた展開－

Research Project

Project/Area Number	20K03677
Research Institution	Shizuoka University
Principal Investigator	田中直樹静岡大学, 理学部, 教授 (00207119)
Project Period (FY)	2020-04-01 – 2025-03-31
Keywords	発展作用素 / 安定性条件 / 高村予想 / 二重非線形発展方程式 / 変異解析 / 距離空間における微分方程式 / 南雲の条件 / 岡村の一意性条件
Outline of Annual Research Achievements	[1] 時間に依存する単調作用素, 劣微分作用素により支配される発展方程式の枠組みの拡張：昨年度までに確立していた「非自励な発展方程式の初期値問題に対する適切性定理」が「時間とともに変化する発展作用素は加藤の安定性条件より弱い安定性条件から生成可能であり, その生成定理が退化波動方程式へ適用可能である」という高村予想へ応用可能であることを明らかにした. その成果を第187回神楽坂解析セミナーにおいて発表した（招待講演）. [2] 変異解析が秘める可能性の追究－距離空間における微分方程式の適切性理論の深化を目指して－：これまでの順調な成果を踏まえ昨年度に方向づけた新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」を実現し, その応用として, 楕円-双曲系抽象方程式の解析手法にもとづく加藤の非線形理論及び作用素半群に関する Chernoff の積公式を導出した. その成果を2024年度日本数学会年会実函数論分科会において発表した（招待講演）. 現在, 他の応用事例を調査しつつ, 準微分方程式に対する適切性定理のさらなる有用性として, 福原微分で記述される set evolution equation の初期値問題等との関連性を探っている. [3] 距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ－：東北大学の赤木氏と共同で取り組んだ存在性に焦点を絞った研究「劣微分作用素理論を軸とした二重非線形発展方程式の可解性」から得た視点を活かし, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸とする展開を加速することとした.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 4年目に実現する予定であった課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ」について, 可積分な2変数関数の活用による消散構造を組み込んだ積分解の導入を軸として展開しているものの, 成果をあげるに至っていない. また, 新たな研究課題「準微分方程式に対する適切性定理の確立」の実現は, 当初計画より一歩進むものであるが, その有用性を調査している状況であり, 原稿の作成段階に至っていない. これらのことから, 限られた研究時間内で計画的に進めているが, おおむね順調に進展しているとは考えにくく, やや遅れていると判断する.
Strategy for Future Research Activity	研究課題「距離空間における勾配流に対する適切性定理の拡張－自励系から非自励系へ」の実現で当初の計画がすべて完成する. このことを踏まえ, 距離空間における勾配流がヒルベルト空間における勾配流の一般化であることから, ヒルベルト空間における非自励な勾配流への重要な実績をもつ東北大学の赤木氏をはじめとする発展方程式研究会のメンバーによる専門的知識の提供を受けながら完成を目指したい.
Causes of Carryover	（理由）対面での国内研究者との研究打ち合わせが学内業務との重複により, また, 外国人招聘が国際情勢の影響により, 当初予定していたようには実施できなかったため. （使用計画）対面での国内研究者との研究打ち合わせの頻度を数年前の状況に戻すとともに, 外国人研究者と円滑に共同研究が実施できる環境を模索する予定である.