Application of algebraic combinatorics and information geometry to spherically-uniform arrangement of sample points for the method of fundamental solutions

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03729
• Research Institution: Tokyo Medical and Dental University
• Principal Investigator: 中口 悦史 東京医科歯科大学, 教養部, 准教授 (70304011)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 偏微分方程式の数値解法 / 代用電荷法（基本解法） / 多面体の頂点配置 / 球面コード / トムソン問題

Outline of Annual Research Achievements

３次元ラプラス方程式の単位球面境界値問題に対する代用電荷法として，球面に内接する多面体の頂点に標本点を配置（電荷点と拘束点を同相配置）した場合の，配置の対称性・均等性と，解法に現れる連立一次方程式の係数行列の固有値分布との関係についての検討を進めたが，成果公表には至っていない。
上の連立一次方程式の係数は，球面上の標本点間距離の関数となるため，標本点間距離を成分とする正方行列の固有値分布，特に重複固有値の重複ほぐれについての情報が得られれば，方程式の係数行列の固有値分布についても有益な情報が得られると考えられる。また，標本点間距離は，代数的組合せにおける球面コードの問題や，全静電エネルギーに関するトムソン問題とも，深く関係する。５つのプラトン正多面体の場合については，すでに前年度までに部分的な結果が得られているため，当面度は対象を広げて，頂点数が10以下の他の多面体について，球面コードの問題やトムソン問題とも絡めて，頂点配置を調整して，標本点間距離行列の固有値分布と，静電エネルギーとの関係性の検討を進めているが，トムソン問題に関する既知の結果と乖離があり，その原因を探っているところである。
また，３次元球面上の標本点配置の対称性の評価と関連して，３次元図形の操作に関連する問題として，２枚の３次元曲面の最近接配置問題とCAEへの応用や，３次元CADデータから特徴平面を決定する問題についても，並行して検討を進めている。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

引き続き新型コロナ感染症拡大による，所属機関のテレワーク推進と遠隔授業実施対応等のため，当該研究課題遂行のエフォートが改善せず，前年度の進捗遅れを取り戻せていないため。

Strategy for Future Research Activity

球面に内接する多面体の頂点に標本点を配置した場合に，球面コードの問題やトムソン問題とも絡めて，標本点間距離行列の固有値分布，特に重複固有値の重複ほぐれの問題についての評価・検討を急ぎ，球面上の標本点配置の諸特性に対する評価指標の検討を進める。

Causes of Carryover

引き続き新型コロナ感染症拡大のため，参加予定だった学会等のオンライン開催が続いており，出張旅費の使用がなくなった。学会等はオンライン開催が続くと思われるため，予定していなかった学会等へのオンライン参加も増やす。