Application of algebraic combinatorics and information geometry to spherically-uniform arrangement of sample points for the method of fundamental solutions

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K03729
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 中口 悦史 大阪大学, スチューデント・ライフサイクルサポートセンター, 教授 (70304011)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 偏微分方程式の数値解法 / 代用電荷法（基本解法） / トムソン問題 / 凸多面体と球面ドロネー分割 / 均等配置と最適性

Outline of Annual Research Achievements

３次元ラプラス方程式の単位球面境界値問題に対する代用電荷法として，球面に内接する凸多面体の頂点に標本点を配置（電荷点と拘束点を同相配置）した場合の，配置の対称性・均等性と，解法に現れる連立一次方程式の係数行列の固有値分布との関係についての検討を引き続き進めているが，いまだ成果公表には至っていない。
上の連立一次方程式の係数は，球面上の標本点間距離の関数となるため，標本点間距離を成分とする正方行列の固有値分布，特に重複固有値の重複ほぐれについての情報が得られれば，方程式の係数行列の固有値分布についても有益な情報が得られると考えられる。球面上の標本点間距離の最小値を最大化する問題はタメスの問題としても知られているほか，球面上の標本点配置の問題は，代数的組合せにおける球面コードの問題や，全静電エネルギーに関するトムソン問題とも，深く関係する。また，球面上の標本点の隣接関係は，標本点集合の凸包から得られる球面ドロネー分割によって知ることができるため，球面ドロネー分割や球面ボロノイ図も，標本点配置の均等性を調べるのに有用と考えられる。当年度は，これらに関することについて，凸多面体や計算幾何学に関する書籍や，関連する先行研究論文による調査を進めた。並行して，前年度に導入したワークステーションのPythonプログラミング環境の整備を進め，標本点間距離の最小値や全静電エネルギーの計算のほか，標本点集合の球面ドロネー分割・球面ボロノイ図の特徴量計算のPythonプログラミングによる実装について検討を進めた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

所属研究機関の変更があったものの，遠隔授業・在宅勤務から対面授業・実出勤への変更や，教育・研究等の業務のエフォートの変更等により，当該研究課題遂行のエフォートが改善し，前年度までの進捗遅れを取り戻しつつあるため。

Strategy for Future Research Activity

球面上の標本点配置の例としてプラトン正多面体を取り上げてきたが，これを球面に内接する整凸多面体（アルキメデス多面体や一部のザルガラー多面体）にまで広げる。また，これまで扱った標本点間距離の最小値（タメスの問題）や全静電エネルギー（トムソン問題）のほか，標本点集合の球面ドロネー分割・球面ボロノイ図の特徴量も視野に入れて，配置の指標の検討を進める。さらに疑似ランダム点列など，より一般の配置の場合にまで，対象を広げることを検討する。

Causes of Carryover

所属研究機関の変更に伴う手続きや，業務の変更によるスケジュールの変更のため，予定していた国際会議や国内学会への参加が困難となったため，引き続き次年度使用が発生している。学会参加を増やせるようスケジュールを調整し，できる限り使用を進める。