2021 Fiscal Year Research-status Report
Auslander-Reiten theory for the lattice category of ordes
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20K14302
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
宮本 賢伍 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 助教 (90845801)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Heller格子 / AR箙 / τ傾有限 / シャッフル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Oを完備離散付値環または体, kをその剰余体, Kをその商体とする. また, BをAの係数ををkに拡大した有限次元代数とする. 本研究の目標は, Oが完備離散付値環のとき, O上の対称整環Aに対して, その上の格子圏の安定AR箙の構造を決定するものであり, Heller格子に着目することで, Aの格子圏とBの加群圏の間にホモロジー的な関係を明確にすることである.
対称整環上のHeller格子はAR転移τで保存される. Heller格子Zに対して, τ(Z)にkをO上でテンソル積をとった結果は, ZをHeller格子にもつようなB加群Mの射影被覆の核となるが, この性質によってHeller格子を含まない連結成分の構造および, ある意味で有限となるHeller格子を含む連結成分の構造論が完全に決まることがわかった. 特に, 前年度で考察した対称中山代数のHeller格子を含む連結成分の構造論は完全に決定される.
また, Oが体のとき, 全ての有限次元多元環はクイバーとその関係式で与えられる多元環と森田同値になる. 従ってクイバーと関係式で表される多元環が有限次元多元環の表現論において基本的な研究対象となる. 多元環の表現論では, 「ねじれ類」を分類するという研究は盛んである. 特に有限関手的なねじれ類は台τ-傾加群によって分類できる. 当該年度では, 単連結な代数のテンソル積代数の台τ-傾有限である為の条件を一部例外を除き完全に決定した.
また, クイバーの自己同型群をカードベース暗号理論へ応用した. シャッフルは数学的にはカード群に対して, 対称群の元をランダムに作用させる操作に対応する. そこで, カードベース暗号理論とクイバーの自己同型群を組み合わせ, PSSと呼ばれる基本的なシャッフルのみを用いて「任意のクイバーの自己同型シャッフル」のプロトコルを提案した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は, Heller格子を含むAR箙の連結成分の構造論に関しては研究発表が1件, τ-傾有限に関する講演を4件, カードベース暗号への応用に関しては, SCISと呼ばれる大規模な研究集会にて研究発表を2件行なった.
また, τ傾有限性に関する論文が1本, 暗号理論への応用に関する論文を2本発表した.
研究課題に関しては, τ傾有限に関する多元環の表現論に関係する成果はあるものの, 研究課題に関しては直接的には一定の感触を得たが, 論文をは発表するには至っていないため, このような区分とした.
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| Strategy for Future Research Activity |
Heller格子を終域にもつAR列に剰余体をテンソルすることで得られる完全列がもとの代数のAR列を復元するという予想に取り掛かかる. 特に対称中山代数の場合などの計算などからHeller格子が持つべきホモロジカルな性質を抽出する.
また, 対称代数の導来圏や安定圏に関する諸結果が対称整環でも成立しないか考察することで, 圏論的な視点からHeller格子を解析することを試みる.
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| Causes of Carryover |
COVID19の影響で, 多くの会議がオンライン化されたため.
現在, 小山工業高等専門学校にて定期的に「高次元連分数による特異点解消とクイバーの表現論」との関係を調べるセミナーを開催しており, これの旅費にあてる予定である.
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