2020 Fiscal Year Research-status Report
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20K14332
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
久保田 直樹 日本大学, 理工学部, 助教 (20754972)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | フロッグモデル / 時間定数 / ファーストパッセージパーコレーション / ランダムポテンシャル中の乱歩 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に，今後の研究活動を見据えた情報収集と本研究の遂行に必要となる数理モデルの解析を行った．これらの具体的な活動実績は以下の通りである：
１．オンラインで開催された「Bernoulli-IMS One World Symposium 2020」において，「Continuity for the asymptotic shape in the frog model with random initial configurations」というタイトルでポスター発表を行った．
２．本研究課題の「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合」について研究を進めていく中で，「カエルの初期配置」と「目覚めたカエルの挙動」の2つの要素の相関が，本研究における大きな問題点であることが分かった．そこでまず，この問題点が発生しないフロッグモデルの類似モデルにおいて本研究課題の考察を行った．今回扱ったのは「ランダムポテンシャル中の乱歩」というモデルであり，そこではカエルの拡散度合に対応する量として「リアプノフ指数」というものがある．このリアプノフ指数においては，ポテンシャルの影響と乱歩の挙動の影響がある意味で独立に表れている．この点に着目することで，ポテンシャルの変化が，真にリアプノフ指数に影響を与えることがわかった．さらに，1次元かつポテンシャルについて平均化した状況においては，ポテンシャルの若干の変化はリアプノフ指数に影響を与えないこともわかった．特に，リアプノフ指数に影響がでるための条件を明確に決定し，リアプノフ指数におけるある種の相転移現象を観測することにも成功した．この結果は論文にまとめ，現在論文誌に投稿中である．
３．オンラインで開催された「2020年度確率論シンポジウム」に出席し，本研究課題に関する情報収集を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の目標は「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合と正方格子上の最短距離の比較」と，今後の研究に必要となる情報を収集することであった．情報収集という点に関しては，順調に遂行できたとはいえない．その理由としては，多くの研究集会がコロナウイルス感染症の影響で中止またはオンライン開催となり，意見交換する機会を確保することが困難であったことが挙げられる．また，研究以外の業務に通常よりも多くの時間がかかり，研究発表の聴講や研究打ち合わせをしづらい状況であったことも情報収集を順調に行えなかった理由である．だだ，「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合と正方格子上の最短距離の比較」という点に関しては，フロッグモデルの類似モデルである「ランダムポテンシャル中の乱歩」に対して本研究課題に関連する結果を得られたため，やや遅れてはいるが本研究は一定の進捗があったといえる．具体的な成果は以下の通りである：
ランダムポテンシャル中の乱歩において粒子の拡散度合を表す量として，「リアプノフ指数」とよばれるものがある．このリアプノフ指数には，「ポテンシャルごとの拡散度合」と「ポテンシャルを平均化したときの拡散度合」の2つの側面がある．どちらの側面においても，リアプノフ指数はポテンシャルを支配する確率分布に依存しているが，「その確率分布の違いがリアプノフ指数に真に影響を与えるのか？」について研究を行った．その結果，ポテンシャルの確率分布の違いはポテンシャルごとのリアプノフ指数に真に影響を与えることがわかった．一方で，ポテンシャルを平均化したときのリアプノフ指数に関しては，ポテンシャルの確率分布に相違があったとしても，リアプノフ指数に変化が起こらない状況が発生しうることがわかった．今後は，この研究で用いた手法を，フロッグモデルにも応用できるかどうかを検証していく．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況で述べたように，ランダムポテンシャル中の乱歩の研究をフロッグモデルに応用していく方針が，本研究には有効に働くと期待できる．そこでまず，「ランダムポテンシャル中の乱歩におけるリアプノフ指数の差異」の解析をより精密に調べ，それを本研究課題にフィードバックさせることで研究の推進を図る．特に，以下の内容に焦点を当て，今後の研究に取り組んでいく：
１．ポテンシャルの確率分布の違いがリアプノフ指数に真に影響を与えることは分かったが，「その影響がどの程度なのか？」までは全く評価できていない．そこで，ひとまずポテンシャルの確率分布をベルヌーイ分布に制限して，リアプノフ指数の差異に定量的な評価を与える．
２．フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合を解析する上で問題となるのが，「カエルの初期配置」と「目覚めたカエルの挙動」という2つの影響の相関である．例えば，カエルが効率よく拡散していくためには，カエルの数が多くなければならないのか，それともカエルの数が少なくても「効率よく動くカエル」がいればよいのかなど，効率的な拡散における典型的な状況についてほとんど何もわかっていない．ランダムポテンシャル中の乱歩のリアプノフ指数は，ある意味でフロッグモデルにおける拡散度合の対応物になっているため，リアプノフ指数を詳しく解析することは本研究課題の推進に繋がると期待できる．そこで，上記１の内容を進めていく中で，フロッグモデルにおける拡散度合の差異を解析する糸口を見つけていく．
３．上記１と２の内容を行っても尚，本研究に対する適切なアプローチが見つからない場合，ファーストパッセージパーコレーションやgreedy lattice animalなどの周辺モデルについても調査を行い，有効なアイディアを積極的に取り入れていく．
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| Causes of Carryover |
（次年度使用額が生じた理由）
コロナウイルス感染症の影響により，出席を予定していたすべての研究集会が中止またはオンライン開催となった．その影響により，出張に関する経費を全く使用できず，次年度使用額が生じた．また，研究以外の業務に時間をとられ，必要な物品の精査・購入が予定通りに実行できなかったことも，次年度使用額が生じた理由である．
（使用計画）
次年度においても，引き続き多くの研究集会がオンラインで開催されると予想できる．本年度，オンラインにおける研究活動用のパソコンを調達したが，より円滑に研究活動（主にオンライン上における研究発表と研究打ち合わせ）を行うためには想定以上に高性能のパソコンが必要であることがわかった．そこで次年度使用額を用いて，コロナ禍における研究活動に耐えうるパソコンとその周辺機器（パソコン上で手書きするためのペンタブレットやタッチペン，研究発表用のウェブカメラやマイク，動画作成用のカメラ，ソフトウェア，作成した動画を保存するためのハードディスクなど）を購入する予定である．その他，今年度調達できなかった物品を購入するために次年度使用額を利用する．
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Research Products
(2 results)
