2021 Fiscal Year Research-status Report
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20K14332
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
久保田 直樹 日本大学, 理工学部, 准教授 (20754972)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | フロッグモデル / 時間定数 / ファーストパッセージパーコレーション / ランダムポテンシャル中の乱歩 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に，本研究に関連する数理モデルの解析とその研究成果の発表を行った．これらの具体的な活動実績は以下の通りである：
１．本研究課題である「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合」を推進するにあたって，ベルヌーイ分布に従うポテンシャル中を運動する乱歩について調べることが有効であると考えた．特に，カエルの拡散度合に対応する量である「リアプノフ指数」に着目し，それがベルヌーイ分布のパラメータ変化に応じてどのように変動するのかを研究した．その結果，quenchedの場合においては，ベルヌーイ分布のパラメータが異なる2つのリアプノフ指数の差が上と下からリプシッツ的に評価されることが分かった．また，annealedの場合のリアプノフ指数に対する差に関しては，下からはリプシッツ的に評価できたが，上からは対数的にしか評価できなかった．ただ，annealedの場合のリアプノフ指数の連続性という観点においては，これまで研究されていなかった範囲を含んでおり十分興味深い結果であると考えられる．現在，この結果を論文としてまとめており，近いうちに論文誌に投稿予定である．
２．オンラインで開催された「無限粒子系、確率場の諸問題XVI」において，「Strict comparison for the Lyapunov exponents of the simple random walk in random potentials」というタイトルで講演を行った．
３．オンラインで開催された「The 19th Symposium“Stochastic Analysis on Large Scale Interacting Systems”」において，２と同タイトルで講演を行った．
４．オンラインで開催された「Workshop on Probabilistic Methods in Statistical Mechanics of Random Media and Random Fields 2022」において，２と同タイトルで講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度の目標は，「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合の狭義単調性の検証」および研究課題に関連する情報の収集であった．コロナウイルス感染症の影響で授業準備の負担が増加したこと，また多くの研究集会が中止・オンライン化したことにより，情報収集という点に関しては順調に遂行できなかった．しかし，「フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合の狭義単調性の検証」という点に関しては一定の進捗があったといえる．その理由としては，“ベルヌーイ分布に従うポテンシャル”を考え，そのリアプノフ指数の差に対して上と下からリプシッツ的評価を与えることに成功したことが挙げられる．特に，リアプノフ指数の差における下からのリプシッツ的評価は狭義単調性の精密化になっている．リアプノフ指数はカエルの拡散度合に対応する量であるため，類似の手法がフロッグモデルにおけるカエルの拡散度合の狭義単調性の検証にも役立つと期待している．ただ，今回得られたリアプノフ指数の差のリプシッツ的評価は，ベルヌーイ分布に従うポテンシャルの場合に限定されている．この設定をフロッグモデルで考え直すと，「各点において，カエルを1匹配置するか，もしくは1匹も配置しないかのどちらかをランダムに決める」ということになる．「1つの点において何匹でもカエルを配置してもよい」というのがフロッグモデルでは一般的な設定であり，ベルヌーイ分布という制約がある現状においては，カエルの拡散度合の狭義単調性へ十分にアプローチできる段階には至っていないと思われる．
上記の理由により，ある程度の成果が得られている部分もあるが順調に進んでいない部分もあるため，現段階における本研究課題の進捗状況は「やや遅れている」と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況で述べたように，ベルヌーイ分布に従うポテンシャルにおけるリアプノフ指数の差の解析が本研究課題の推進に役立つと期待できる．今回リアプノフ指数の差を解析するにあたって鍵となったのは，「1点においてのみポテンシャルを変化させたとき，乱歩がある点に到達するためのコストがどの程度変化するのか？」という点であった．ベルヌーイ分布に従うポテンシャル中を運動する乱歩に関しては，この変化を上と下から具体的に評価することができ，それがリアプノフ指数の差の評価に直結していた．フロッグモデルにおけるカエルの拡散度合においても同様の考察をすることで，本研究課題を進展させることができると考えている．特に，以下の内容に焦点を当て今後の研究に取り組んでいく：
１．まずは「各点において，カエルを1匹配置するか，もしくは1匹も配置しないかのどちらかをランダムに決める」というベルヌーイ型の設定において，カエルの拡散度合の差を下から具体的に評価できるか検証する．
２．１における検証が成功した場合は，カエルの初期配置を一般化してカエルの拡散度合の差の解析を行う．ただ，１において鍵となる手法は，カエルの初期配置が“ベルヌーイ型”であることに強く依存しているため，カエルの拡散度合の差を下から具体的に評価することはかなり困難であると考えている．そこで，ここでは拡散度合の差を下から具体的に評価することにはこだわらず，研究課題の通り「拡散度合に真に差が生じるか？」に焦点を当てて研究を進める．
３．上記１と２の研究が順調に進まなかった場合は，周辺モデルの先行研究について調査を行い，本研究に有効なアイディアを模索する．現段階では，「greedy lattice animal」という数理モデルについて再度研究することが有効ではないかと考えている．
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染症の影響により，出席を予定していたすべての研究集会が中止またはオンライン開催となった．特に，次年度使用額が生じた大きな理由は，想定していた海外出張がすべて中止となったことである．
（使用計画）
次年度からは，対面形式で開催される研究集会が少しずつ増えてくると期待している．次年度使用額はその際の旅費として使用する．また，引き続き，オンラインによる研究集会への参加や研究打ち合わせも多くあると考えられるため，それらの機会に役立つPC環境の整備に次年度使用額を用いる．さらに，本研究課題に関する成果も出始めてきているため，それらを保存・整理するためのハードディスクなども購入する予定である．その他，研究を推進する上で想定外の図書が必要となった場合に，その購入費としても次年度使用額を利用する．
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Research Products
(4 results)
