2022 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
20K14332
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
久保田 直樹 日本大学, 理工学部, 准教授 (20754972)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | フロッグモデル / 時間定数 / ファーストパッセージパーコレーション / ランダムポテンシャル中の乱歩 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は主に，フロッグモデルにおいてカエルの拡散度合の狭義単調性を検証した．また，それに関する研究成果の発表も行った．これらの具体的な活動実績は以下の通りである：
１．これまでの研究を踏まえ，本研究の最終課題「フロッグモデルにおける拡散度合の差異の解析」に着手した．特に，カエルの初期配置がベルヌーイ分布に従う場合に焦点を当て，「ベルヌーイ分布のパラメータの差が拡散度合にどの程度影響を与えるのか？」について研究を行った．その結果，2つの異なるパラメータにおける拡散度合の差は上と下からリプシッツ的に評価されることが分かった．現在，この結果を論文としてまとめており，近いうちに論文誌に投稿予定である．また，竹居正登氏（横浜国大）と共同で，フロッグモデルに深く関連するファーストパッセージパーコレーションについても類似研究を行った．その結果は論文としてまとめ，すでに論文誌に掲載された．
２．2つの国際研究集会「Probability and Analysis on Random Structures and Related Topics」と「Workshop on Probabilistic Methods in Statistical Mechanics of Random Media and Random Fields 2023」において，それぞれ「Strict comparison for the Lyapunov exponents of the simple random walk in random potentials」と「Lipschitz-type estimates for the frog model with the Bernoulli initial configuration」というタイトルで，本研究課題に関する講演を行った．
３．中央大学で開催された「日本数学会2023年度年会」において，「フロッグモデルの時間定数におけるリプシッツ型評価」というタイトルで講演を行った．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の目標は，「フロッグモデルにおける拡散度合の差異を精密に評価すること」および研究課題に関する情報収集であった．まず，情報収集においてはやや不十分であったと思われる．本年度の国内研究集会は対面で開催されることが多かったため，研究発表やそれに関する内容について直接議論する機会を十分に確保することができたと考えている．一方で，海外出張においてはいまだコロナウイルス感染症の影響が残っており，大学業務や家庭への影響を考慮すると，国外研究集会に参加し情報収集することは困難であった．以上の理由から，情報収集という観点においては，進捗状況はやや不十分であったと結論付けた．
次に，「フロッグモデルにおける拡散度合の差異の精密評価」という点においては，計画よりも若干早く進展していると考えている．その理由としては，カエルの初期配置がベルヌーイ分布に従う場合において拡散度合の差異を実際に精密評価できたことが挙げられる．フロッグモデルにおいてこのような先行研究は一切なく，研究開始当初は，カエルの初期配置の分布がどんなに単純なものであったとしても拡散度合の差異を精密評価することは簡単ではないだろうと予想していた．この状況を打破するきっかけとなったのが，前年度に行った，ベルヌーイ分布に従うポテンシャル中を運動する乱歩に対する一連の研究であった．本年度はそこで得られた知見・手法をフロッグモデルに応用できるか試みた．その結果，カエルの初期配置がベルヌーイ分布に従う場合においては，ベルヌーイ分布のパラメータの差が直接カエルの拡散度合の差として現れることがわかった．
上記のように，情報収集という観点からはやや不十分な進捗状況であるが，研究の進展という点に関しては計画より順調に進んでいるため，現段階における本研究課題の進捗状況は「おおむね順調に進展している」と判断した．
|
| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況で述べたように，カエルの初期配置がベルヌーイ分布に従うフロッグモデルにおいては，本研究課題の目的を概ね達成することができた．そこで今後の研究の推進方策は，「ベルヌーイ分布における拡散度合の解析手法を一般の初期配置分布の場合に応用すること」である．ベルヌーイ分布における拡散度合の解析において鍵となったのは，「Russoの公式」と「カエルの初期配置を1点だけで変化させたときに拡散度合がどの程度変化するのか？」という点であった．これらの2点は，「カエルの初期配置がベルヌーイ分布に従うこと」と「比較するベルヌーイ分布のパラメータが（任意の）一定値以上であること」に強く依存している．したがって，ベルヌーイ分布における解析手法を一般の初期配置分布の場合へ直接応用することは難しいと考えている．この問題点を踏まえ，以下の内容に焦点を当て今後の研究を推進していく：
１．一般の初期配置分布においては，1点に複数匹のカエルが配置される可能性がある．ただ，「（配置数に関係なく）カエルの有無」のみを考えれば，ベルヌーイ分布として捉えることができる．このような捉え方をすることで，（精密ではないかもしれないが）一般の初期配置分布においても拡散度合の差異を評価できるのではないかと考えている．特に，単純に「初期配置分布の変化が拡散度合に真に影響を与えるのか？」を一般の初期配置分布の場合において検証する．
２．上で述べたように，ベルヌーイ分布に従う初期配置のみを考える場合，「パラメータが一定値以上」という条件を仮定した．したがって，「パラメータを0に近づける（つまり，カエルを配置する確率を小さくしていく）場合」において，拡散度合がどのように変化するのかは未解明である．そこで，この問題に取り組むことでベルヌーイ分布における拡散度合をより深く理解し，それをより一般の場合の解析に役立てる．
|
| Causes of Carryover |
国内研究集会が徐々に対面形式で開催されるようになったこともあり，国内出張に関してはある程度許容できる状況になってきた．また，国外研究集会においても対面で実施されることが増えてきた．ただ，海外渡航に関してはいまだコロナウイルス感染症の影響が残っており，大学業務や家庭への影響を考慮すると，本年度も引き続き海外出張することは困難な状況であった．本年度使用額の大部分として海外出張にかかる旅費を想定していたが，それを使用できなかったことが原因となり次年度使用額が生じた．
（使用計画）
海外渡航に関するコロナウイルス感染症の影響は年々小さくなってきており，次年度は今年度より柔軟に海外渡航が可能になると期待している．そこで次年度こそは，国外における研修集会への出席および研究打ち合わせを行いたいと考えている．次年度使用額はその際の旅費として使用する．特に，円安の影響で想定していたよりも海外渡航に費用がかかる可能性があるため，その補填として次年度使用額を有効活用できるのではないかと考えている．また，引き続き，オンラインによる研究集会への参加および研究打ち合わせが多くあると考えられるので，それらの機会に役立つPC環境の整備にも次年度使用額を用いる予定である．
|
