Construction of new phase field methods for dynamical problems in the calculus of variations

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 20K14343
• Research Category: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: Takasao Keisuke 京都大学, 理学研究科, 准教授 (50734472)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 平均曲率流方程式 / 幾何学的測度論 / フェイズフィールド法 / 変分問題 / 弱解 / バリフォールド

Outline of Final Research Achievements

We studied the surface evolution equations and obtained the following. We proved the global existence of the Brakke flow of the obstacle problem, when the boundaries of obstacles are smooth. We used the Allen-Cahn equation with forcing term for the proof. We showed the global existence of the weak solution to the volume preserving mean curvature flow for any dimensions. For the proof, we used a new phase field model for the volume preserving mean curvature flow. We proved the short time existence of the classical solution to the geometric evolution equation studied by Epshteyn-Liu-Mizuno.

Free Research Field

非線型偏微分方程式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

平均曲率流方程式等の曲線、曲面の発展方程式の解の近似方法の1つとして知られるフェイズフィールド法は、体積保存条件や外力項を加えることが容易であり、数値実験の分野で良く用いられている。しかし、フェイズフィールドモデルの特異極限が元の発展方程式に収束するか？という問題については、平均曲率流方程式の障害物問題や、任意の空間次元における体積保存平均曲率流方程式については未解決であった。本研究ではこれらの収束に関して数学的な正当性を与えた。Epshteyn-Liu-Mizunoの方程式については、金属粒界でよく見られる、トリプルジャンクションの形状を持つ解の時間局所存在を示すことが出来た。