断層撮影技術の基礎となる微分方程式の未知係数決定逆問題にかかる総合的解析

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 20K14344
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 川越 大輔 京都大学, 情報学研究科, 助教 (30848073)
• Project Period (FY): 2020-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 逆問題解析 / 偏微分方程式論 / 積分方程式 / 数値解析 / スペクトル解析

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題は, 拡散光トモグラフィ(Diffuse Optical Tomography (DOT)) に対する申請者の提案手法の実用化に向けた数学解析である. DOT は次世代の非侵襲的断層撮影技術であり, 定常輸送方程式と呼ばれる微分積分方程式の未知係数決定逆問題として数理モデル化される. この逆問題に対して, 研究代表者はこれまでに実現可能と思われる解法を提案しているが, 観測誤差の影響やデータの観測可能性の検討がまだ十分になされていない. 数学解析の視点でこの検討を行い, 研究代表者の提案手法による DOT の実現可能性を明らかにすることが本研究の目的である.
本研究課題では, 1.多倍長数値計算環境下における研究代表者提案手法の数値実験, 2.メタマテリアルを利用した観測データの高解像化手法の提案, 3.これら2つの提案の統合, の3つを小課題として設定し, 特に 2.ではその前段階として Neumann-Poincar\’e (NP) 作用素と呼ばれる境界積分作用素のスペクトルの解析に取り組むことを計画している.
小課題1.では, 解の不連続性を伴う数値計算を高精度で行わなければならない点と数値実験が通常のものと比較して大規模である点が課題で, 研究代表者提案手法の数値的実装に至っていない. 現在は問題を切り分けて, 解の不連続性を伴う高精度な数値計算法の開発を簡単なモデルで取り組んでいる.
小課題2.では, 解析の根幹をなす擬微分作用素の先行研究を精査している. また小課題3.では, 先行研究の精査によりスケールの違いを考慮に入れなければならないことが明らかとなったが, その数学的正当化には至っていない.

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

令和2年度では新型コロナウイルスの影響で研究協力者との対面での直接討論ができず, そのため研究の推進よりも研究に必要な機材の整備や資料の収集を優先した. このような事情から, 当初想定していた進捗を得ることはできなかった.

Strategy for Future Research Activity

「研究実績の概要」でも先述したとおり, 本研究課題の小課題1.については問題を切り分けて, 解の不連続性を伴う高精度な数値計算法の開発を簡単なモデルである定常移流方程式で取り組む. その前段階として, 解が不連続性を伴わない場合について解の正則性と各数値計算法の精度を精査する.
小課題2.について, Neumann-Poincar\'e (NP) 作用素は Laplace 方程式の境界値問題の解の境界へのトレース作用素とも関連している. このトレース作用素を擬微分作用素と見なしてその表象を精査することで, NP 作用素のスペクトルを明らかにする.
令和3年度は以上の2つの小課題に従事し, 小課題3.については次年度以降に取り組む.
当初の計画では令和3年度より年に1回研究集会を開催することを予定していたが,　新型コロナウイルスの今後の感染状況によっては開催を断念する.

Causes of Carryover

今回生じた次年度使用額677円について, 令和2年度内に使用することも検討したが, 物品の購入や出張を額内では実行できないと判断し, 令和3年度へ繰り越すこととした. なお, 令和3年度には91万円の助成金交付を受領する予定であるが, 研究経費が端数分変動する虞が十分あり, 今回生じた次年度使用額は超過端数分に充当する予定である.