2020 Fiscal Year Research-status Report
リーマン多様体上の最適化理論の展開とその大規模問題への応用
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20K14359
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
佐藤 寛之 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (80734433)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 最適化 / リーマン多様体 / 共役勾配法 / レトラクション |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和2年度は，リーマン多様体上の最適化問題に対するアプローチとして2編の論文を学術誌に発表した．一つは，共役勾配法についての研究である．既存の多様体上の共役勾配法では探索方向の計算のためにベクトル輸送と呼ばれる写像が必要であったが，当該研究ではレトラクションの逆写像を用いることで，ベクトル輸送を必要としない新しいアルゴリズムを提案し，その大域的収束性の証明および数値実験による有効性の実証を行った．共役勾配法では点列を生成する際にレトラクションを用いるが，探索方向の計算の際に用いるレトラクションはそれと一致していても異なるものであっても良い．したがって，対象とする多様体に応じて，計算量の小さい写像を選ぶことができる．もう一つの研究は，対数写像の近似についてである．リーマン多様体においては，直線を一般化した重要な概念である測地線に基づいて指数写像が定義され，その逆写像が対数写像である．一方，最適化においては指数写像の1次近似であるレトラクションがしばしば用いられる．当該研究では，レトラクションの定義に倣って，対数写像の近似として適切な条件を定義した．そして，対数写像の近似が局所的にはあるレトラクションと互いに逆写像の関係にあることを証明した．したがって，先述の研究で議論した共役勾配法の探索方向の計算において，本研究で定義した対数写像の近似を用いることもできる．
いずれの研究も，最適化計算における計算量の削減に貢献するものであり，大規模な問題への有効なアプローチになり得るものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べた通り，令和2年度はリーマン多様体上の最適化アルゴリズム，とりわけ，既存の枠組みの中で必要とされていた写像をより計算量の小さい写像で置き換えるアルゴリズムについて，研究成果を得た．これは当初の研究実施計画におおむね合致するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
リーマン多様体上の共役勾配法において必ずしもベクトル輸送を用いる必要がないという研究成果に基づいた，共役勾配法のより一般的な新しいクラスについての研究を進めている．この成果をまとめた論文を発表するとともに，他の最適化アルゴリズムについての検討も進める予定である．
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| Causes of Carryover |
令和2年度は，新型コロナウイルス感染症の流行の影響により学会や研究集会がすベてオンライン開催となったため，参加費の支出のみで旅費の支出はなかった．このことにより，次年度使用額が生じた．令和3年度は，新型コロナウイルス感染症の状況によるため旅費の支出については未定であるが，本研究課題に関連する書籍の購入や，論文の執筆・出版に係る経費として使用する計画である．
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