2021 Fiscal Year Research-status Report
リーマン多様体上の最適化理論の展開とその大規模問題への応用
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20K14359
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
佐藤 寛之 京都大学, 情報学研究科, 特定准教授 (80734433)
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| Project Period (FY) |
2020-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 最適化 / リーマン多様体 / グラスマン多様体 / 最急降下法 / 共役勾配法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度は，リーマン多様体上の最適化問題に対するアプローチとして2編の論文を発表した．一つは，グラスマン多様体上の最急降下法や共役勾配法についての研究である．この研究では，信号処理など様々な分野に応用をもつグラスマン多様体上の最適化問題に焦点を当て，目的関数の勾配を用いた求解アルゴリズムを効率化する道具を数値線形代数的観点から提案した．具体的には，ケイリー変換を用いることで，グラスマン多様体上のレトラクションやベクトル輸送の新たな計算方法を開発した．また，シュティーフェル多様体上の対応するレトラクションとの関係を理論的に明らかにした．さらに，数値実験による提案手法の有効性の実証も行った．もう一つの研究は，一般のリーマン多様体上の最急降下法の加速法についてである．ユークリッド空間の場合と同様，リーマン多様体上の最適化問題に対しても，アルミホ条件を満たすステップ幅を用いた最急降下法は基本的な最適化アルゴリズムであるが，この研究では，その際にバックトラッキングにより求まったステップ幅をさらに適切にスケーリングするという，僅かな追加の計算を行うことによって，最急降下法の加速を実現した．さらに，特別な場合として，提案手法はユークリッド空間における最適化問題に対しても有効であることを数値実験により実証した．
これら2つの研究はいずれも最適化計算の効率化を目指しており，大規模な問題の求解に貢献するものである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」で述べた通り，令和3年度はリーマン多様体上の最適化アルゴリズムに関して，グラスマン多様体という具体的な多様体上の効率的な計算手法および，一般のリーマン多様体上の高速な最適化手法についての研究を完成させた．したがって，当初の研究実施計画通り，リーマン多様体上の最適化理論の発展を達成できている．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度はリーマン多様体上の共役勾配法の一般的な新しいクラスについての研究を完成させることを目標とする．さらに，n次元ユークリッド空間においてp-ノルムを用いて定義される単位超球面上の最適化問題について研究することで，ユークリッドノルムの意味での球面上の制約付き最適化問題に対する新たなアプローチや，正則化項付き最適化問題に対する新たなアプローチの提案を目指す．これらはいずれも研究実施計画通り大規模問題への応用を見据えた研究である．
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| Causes of Carryover |
令和3年度は，令和2年度に引き続き，新型コロナウイルス感染症の流行の影響により参加した学会や研究集会がすベてオンライン開催であったため，参加費の支出のみで旅費の支出はなかった．このことにより次年度使用額が生じた．令和4年度についても，新型コロナウイルス感染症の状況によるため旅費の支出については未定であるが，本研究課題に関連する書籍の購入や，論文の執筆・出版に係る経費として使用する計画である．
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