2022 Fiscal Year Research-status Report
Determinantal point fields and machine learning
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20K20884
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河原 吉伸 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (00514796)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| Keywords | 行列式確率場 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
完全グラフ上の全域木の総数の決定はケーリーに遡り、行列式を用いたビネ・コーシーの定理や行列・木定理が重要な役割を果たす。この計算と接続行列のユニモジュラー性から、一般にグラフ上の一様全域木はすべて行列式確率場となることが知られている。また、完全２部グラフの全域木の総数はScoinによって求められている。全域木はサイクルのない連結グラフとして特徴つけられるが、サイクルが複数ある場合の連結成分の同様の数え上げの問題も重要で、Wrightによって完全グラフの場合は研究されている。カッコーハッシングの関連で完全２部グラフの場合については、特にユニサイクルと呼ばれる場合には考察されていた。薮奥・蓮井らとサイクルの個数が一般の場合について、指数型母関数を用いる方法で偏微分方程式系を導き、その方程式を解くことによりその係数の漸近挙動を求める研究を実施し、現在論文を執筆中である。Ghosh・三好と共同研究で行なった、三角格子の摂動によって得られるランダムな格子が適当な分散パラメータの時にギニブル確率場に近いことをパーシステント図間の距離および最近接間距離のヒストグラムに関する距離の比較により得て、それをワイヤレスネットワークのSINRの問題に応用した論文が出版された。行列式確率場の基本形は正定値行列をL-行列として、添字の部分集合に対応する主小行列式の値に比例する確率として定義されるが、最近歪対称行列を加えても非負の確率を定めるという事実が示されて、そのクラスでの行列式確率場の機械学習に必要な基礎的な性質について研究してきた。特に、歪対称行列を加えた場合の行列式確率場が元の正定値行列の場合に比べて、どれくらい確率測度の表現力が上がっているかを調べ始めた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
行列式確率場は正定値対称行列をパラメータ空間にもつ確率分布族であるが、そのパラメータ集合を正定値行列と歪対称行列の和のクラスまで拡張して表現能力を高め、さらにその確率分布族に対して機械学習する際に、その表現力がどれくらい増しているかについて実験的な考察を行った。一方、２部グラフ上のサイクルの個数を固定したときの連結グラフの個数の数え上げの問題には進展があった。これらのことより、おおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の状況を踏まえて、まず具体的な計算機実験をさらに追加で実施するとともに、確率単体上の分布を与えてそれと行列式確率場の平均距離に関する計算機実験とともに、理論的な考察も行う予定である。また、パラメータ空間におけるランダム行列の固有値の問題は数値実験を行い、理論的な研究にも着手したがその点はまだ十分でない。可能ならば、この点についても引き続き考察していきたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染症の影響で、行う予定だった研究打合せ、招聘予定の研究者が先方の都合で招聘できなかったなどの理由のため次年度使用額が生じている。次年度使用分は、R4年度に実施した研究に対する更なる計算機実験などを実施するためにアルバイト雇用などを、またそれに合わせて計算機購入を行い、現在進めている数値実験を加速する。また研究集会への参加、研究者招聘などにより、旅費、人件費および物品費の増額が見込まれる。
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