2023 Fiscal Year Annual Research Report
Determinantal point fields and machine learning
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20K20884
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河原 吉伸 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 教授 (00514796)
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| Project Period (FY) |
2020-07-30 – 2024-03-31
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| Keywords | 行列式確率場 / ラプラシアン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
d次元整数格子をベースとする立方格子複体上のアップラプラシアンの固有値を完全に決定して，各次元の固有値および固有関数の間にある種の入れ子構造があることを示した．単体複体およびセル複体に拡張された行列木定理を用いることにより，立方格子複体における全域非輪体のねじれ群の位数の二乗の重みを付けた個数の標識を与えて，その極限を考えることにより，立方格子複体のねじれ重み付き全域非輪体エントロピーが，対数的マーラー測度の線形結合として表されることを示した．また，全域非輪体の全体のなす集合上に上記の重み付きによる確率測度を定義すると行列式確率場になり，その観点からも新たな研究の方向性があることを報告した．この結果は，Journal of Applied and Computational Topology に掲載が決まった．完全２部グラフ上のサイクルが複数ある場合の連結成分の数え上げの問題はカッコーハッシングの関連で応用上も重要で，特にユニサイクルと呼ばれる場合には考察されていた．薮奥・蓮井らとの共同研究で，ベッチ数を固定した場合の連結成分の総数が，ベッチ数をパラメータとする漸化式を満たし，その指数型母関数を用いる方法で偏微分方程式系を導き，その方程式を解くことによりその係数の漸近挙動を求めた論文を投稿中である（https://arxiv.org/abs/2208.03996）．行列式確率場を正定値行列と歪対称行列をそれぞれL-行列としてモデル化して，その階数などモデルのパラメータの自由度を同じにした際に，確率測度の表現力を数値実験のレベルではあるが比較した.
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