2009 Fiscal Year Annual Research Report
非線型楕円型方程式の大域理論の比較研究を通じた統一的理解の研究
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21244010
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小澤 徹 Waseda University, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小池 茂昭 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (90205295)
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Keywords | 非線型楕円型方程式 / 楕円型評価 / ソボレフの不等式 / ボワンカレの不等式 / コンパタト埋蔵 |
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| Research Abstract |
本年度は、楕円型評価とソボレフ型埋蔵不等式について研究した。楕円型評価については、基礎となるユークリッド空間内の内部領域の伸張パラメタ(例えば原点を中心とする球の半径)に関する依存性を明らかにし、楕円型評価における伸張パラメタに関する〓状依存項と伸張パラメタに依存しない因子とを分離して記述する事に成功した。これにより、全ユークリッド空間における問題と内部領域における問題との関連が、伸張パラメタを通じて具体的に把握する事が可能となった。さらには非線型楕円型方程式系や非線型放物型方程式系への応用も見出し新たな知見を得た。
ソボレフ型埋蔵不等式については、動径対称な函数の満たすストラウスの不等式とニイの不等式を、一径数で補間することの出来る一般的な不等式を見出した。これにより、ストラウスの不等式とニイの不等式の統一的な理解が可能となった。さらには動径対称性の仮定が成立しない一般の場合への拡張も研究し、球面方向への若干の滑らかさを仮定すれば同様の不等式が成立する事を証明した。これは同時に全ユークリッド空間では破綻するソボレフのコンパクト埋蔵が、球面方向への滑らかさの仮定の下で回復する事実を主張するものであり、空間的に非均質性をもつ非線型楕円型方程式への応用が期待される。
また、有界領域におけるボワンカレの不等式を、全ユークリッド空間におけるスケール不変な不等式に書き換え、その本質が空間伸張に対応する運動群で特徽付けられる事も明らかにした。
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