2011 Fiscal Year Annual Research Report
ランダム行列、統計物理に動機づけられた無限次元確率力学系
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21340031
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
長田 博文 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (20177207)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
舟木 直久 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 教授 (60112174)
白井 朋之 九州大学, 大学院・数理学研究院, 教授 (70302932)
種村 秀紀 千葉大学, 大学院・理学研究科, 教授 (40217162)
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| Keywords | 統計物理 / ランダム行列 / logガス / 無限次元確率力学系 / 拡散過程 / 干渉ブラウン運動 / random point fields / クーロンポテンシャル |
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| Research Abstract |
Airy点過程に関する確率力学の研究を長田と種村で完成させることを目的としたが、予想以上に進み干渉係数が￥beta=1,2,4の場合に証明し、無限次元確率微分方程式の解として構成した。このモデルは、標準的な有限粒子系からの近似を行うと、付随する確率微分方程式の係数に発散項が現れるため、直感的なレベルでも確率微分方程式の係数の形が知られていなかった。長田は、Bessel点過程に付随する確率力学を無限次元確率微分方程式の解として構成した。これらの結果によって、前年度までの結果と合わせると、ランダム行列論の1次元無限粒子系において代表的な3つの普遍的クラスすべてについて、確率力学を無限次元確率微分方程式の解のレベルで構成したことになる。Ginibre点過程のPalm測度の特異性は、長田と白井で研究しているが、任意個数の粒子の条件づけの場合について証明が完成しpreprintを作成した。研究の基礎になる長田の主論文の一つについてもacceptされた。この課題研究で共催する主たる研究集会である、「大規模相互作用系の確率解析」を国際シンポジウムの規模で高知大学で開催できた。またもう一つの主たる研究集会である「確率場の諸問題」も充実した内容であった。
多時刻相関関数が行列式で表現される確率過程を行列式過程とよぶが、種村と香取は、行列式過程の典型的な3つの例に対して、そのマルコフ性を示した。舟木は、Otto, Villaniらによる解析的手法を応用して、凸ポテンシャルを持つ$￥nabla￥varphi$界面モデルの流体力学極限を示した。ここにおいてはGibbs分布の長距離相関が問題を困難にする。白井は、ランダムな複素解析的に対する関数型中心極限定理を示した.また,上半平面のセゲー核のウイナー積分で定義されるランダムな解析関数の零点が行列式点過程になることを示した.
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