2011 Fiscal Year Annual Research Report
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21540026
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
吾郷 孝視 東京理科大学, 理工学部, 教授 (60112893)
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| Keywords | ベルヌイ数 / イデアル類群 / 代数本の類数 / 正則・非正則素数 / 素数分布 / 高速計算アルゴリズム |
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| Research Abstract |
円分体の相対類数と非正則素数の高速計算に関して多くの多倍長整数係数の多項式が現れるが、本年度もShokrollahi-Buhlerのアルゴリズムの改良を試みて2次元高速フーリエ変換(FFT)の計算量を幾分短縮することができた.一方でKellnerの手法を取り入れた非正素数に対する新しい判定基準を用いて必要な数値データを集積した.それらを分析することによって、非正則素数の分布についてはHardy-Littlewood予想とSiegel予想の検証を、また非正則指数についてはSkulaによる評価の改良を試みた.実験的結果からは多くのことが推論できたが、論証を伴う理論上の進展は得られなかった.正則素数の無限性についても同様である.その最大の原因は出現する評価式の複雑さであり、解決すべく現在も継続して研究中である.
また実2次体の基本単数に関する未解決問題であるArtir-Ankeny-Chowla(AAC)予想の検証を行った.従来はベルヌイ数の整除性と対称非正則対の存在可能性を議論することにより研究を進めてきた.しかし期待した成果が上がらなかったため、本年度は2次無理数の連分数展開の周期の長さと項の特性を利用してこの予想の研究に取り組んだ.その結果、完全平方でない自然数に対応する2次無理数に対して、奇数周期の長さをもつ単純連分数展開の一般形を決定することができた.この結果をAAC-予想に適用することにより、ある条件の下でAAC-予想が成立することが証明できた(谷口・服部両氏との共同研究).一方でベルヌイ数と深く関係するStirling数(第1、2種)、Eulerian数、そしてGenocchi数の性状も研究し、Carlitzの結果を拡張して高次合成積に関する一般公式を完成することができた(K. Dilcherとの共同研究).これらの成果は現在纏めている論文の中で発表する予定である.
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