2012 Fiscal Year Annual Research Report
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21540098
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | Dehn surgery / Seifert fiber space / lens space / hyperbolic knot / seiferter / Seifert Surgery Network / closed geodesic / band sum |
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| Research Abstract |
「双曲結び目のSeifert手術がどのように生じるか」という根源的な問題に対して、Seifert手術全体からなるネットワーク(Seifert Surgery Network)という概念を導入し、“伝播性(遺伝性)”という視点で解明することを目標に研究を進めてきた。Seifert Surgery Networkを用いて、双曲結び目のSeifert手術を発生のメカニズムがはっきりしているトーラス結び目のSeifert手術と関連付けることにより、その起源を記述することが可能となった。
平成２４年度は、primitive/Seifert構成で得られるSeifert手術、得られないSeifert手術がそれぞれSeifert Surgery Networkの中でどのような位置づけになっているか明らかにすることに重点をおいて研究を進めた。primitive/Seifert構成で生じないSeifert手術の検証から着手し、Seifert Surgery Network内で自明な結び目のSeifert手術の近くにそのような例が無限に存在していることが明らかになった。さらに、primitive/Seifert構成で生じないSeifert手術の新たな無限個からなる族を構成し、Seifert Surgery Network内での位置を特定して、これらがすべてtrefoil結び目のSeifert手術を起源にもっていることを証明した。また、双曲結び目のSeifert手術の発生源である自明な結び目のSeifert手術のseiferterを詳しく調べ、Seifert Surgery Networkが局所有限でないことを示した。これにより、Seifert Surgery Networkの自明な結び目のSeifert手術を含む連結成分が非常に大きいことが明らかになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Seifert手術全体からなるネットワーク(Seifert Surgery Network)という新しい概念を導入し、双曲結び目のSeifert手術がどのように生じるかという根源的な問題を“伝播性(遺伝性)”という視点で解明することを目標に研究を進めてきた。本研究で鍵となる“seiferter”は、無関係だと思われていたSeifert手術の間の関係を記述する上で非常に有効であり、seiferterを用いて定義されるSeifert Surgery Networkを利用してSeifert手術を、それらの間の伝播性(遺伝性)という視点で捉えることが可能となった。特に、双曲結び目のSeifert手術を発生のメカニズムがはっきりしているトーラス結び目のSeifert手術と関連付けることにより、その起源を記述することが可能となったことは本研究を通じて得られた大きな成果であった。
平成２４年度は、primitive/Seifert構成とSeifert Surgery Networkの関係の解明に重点を置いて研究を進めた。primitive/Seifert構成で得られないSeifert手術は例自体が乏しく、全体像がほとんど分かっていない。本研究で、primitive/Seifert構成で得られないSeifert手術の新たな無限族を構成することに成功し、これまでに知られている例も含め、その多くがSeifert Surgery Network内でトーラス結び目のSeifert手術の周辺に存在していることが明らかになった。これにより、primitive/Seifert構成で得られないような特殊なSeifert手術も伝播性(遺伝性)という視点で理解できる可能性が広がった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も、最近盛んに研究されているprimitive/Seifert構成やチェイン絡み目による構成を、本研究の舞台にもなっているSeifert Surgery Network上でネットワークの視点から考察する。特に、トーラス結び目のSeifert手術を含む連結成分Ｓの決定は重要な問題なので、primitive/Seifert構成で得られるSeifert手術やチェイン絡み目から生じるSeifert手術がすべてＳに属しているか詳細に調べていく。同時に、primitive/Seifert構成では得られないSeifert手術やチェイン絡み目から生じないSeifert手術についても調べ、Seifert Surgery Network内での位置を特定する。
また、Seifert Surgery Networkの研究の裾野を広げるために、Seifert手術とも関係しているHeegaard Floer homology理論や群のleft-orderabilityとも関連させた研究を展開していきたい。
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