2010 Fiscal Year Annual Research Report
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21540102
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)
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| Keywords | conformally flat hypersurface / Guichard net / triply orthogonal system / Bianchi system / associated family / dual hypersurface |
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| Research Abstract |
4次元空間形内のgenericで共形平坦な超曲面の研究を行った。
(1)随伴族の存在及びBianchi-type Guichard netを持つ共形平坦な超曲面の決定。
1つの共形平坦な超曲面に対し、この超曲面と計量は共形的であるが外の空間の共形変換では合同にならない超曲面が1変数族で存在する事を発見した。このような随伴族の存在は曲面論(例えば、極小曲面の理論等)では良くある事であるが、高次元部分多様体に関してのこのような1変数族の存在の発見は全く新しい結果であり、高次元部分多様体論研究の発展に寄与できるものと期待している。また、共形平坦な超曲面の内的性質の研究を行い新しい超曲面を発見した:超曲面の計量と共形的となるある3次元定曲率計量を取れば、その座標曲面族の全ての曲面が定曲率となるような超曲面が存在する。このような性質を持つ超曲面をBianchi-type Guichard netを持つ共形平坦な超曲面と名付け、Bianchi-type Guichard net持つ超曲面の計量についての決定関数を完全に特徴付けた。これらの結果は、Bath univ.(United Kingdom)のU.Hertrich-Jeromin氏との共同研究で得られたものであり、論文にまとめて現在投稿中である。
(2)共形平坦な超曲面の双対共形平坦超曲面の存在とその性質の研究。
4次元ユークリッド空間内の1つの共形平坦な超曲面から、この超曲面と計量が共形的でない(従って、ユークリッド空間の共形変換でも合同でない)共形平坦な超曲面が少なくとも1変数族で存在する事を発見した。これらの超曲面は(1)で述べた随伴族とは別の系統に属する超曲面であり、初めの超曲面の双対超曲面と呼ぶにふさわしい性質を持っている。この双対超曲面の研究は現在、U.Hertrich-Jeromin氏、東工大の梅原雅顕氏、山田光太郎氏と継続中である。
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