2009 Fiscal Year Annual Research Report
計算機援用証明による微分方程式の解曲線のパラメータ連続的追跡
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21540134
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
渡部 善隆 Kyushu University, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| Keywords | 計算機援用証明 / 解の存在検証 / 非自己共役固有値問題 / 固有値の除外 |
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| Research Abstract |
(1) これまで成功してきた,Emden方程式,Allen-Cahn方程式,Kolmogorov問題を含むいくつかの非線形楕円型方程式に対する解の局所一意性付き数値的検証手法に対する成果・知見を取り込みながら,非線形偏微分方程式の解に対する局所一意性付き存在検証手法を,可能な限り一般的な関数空間と作用素に適用可能となる検証理論として拡張することを検討した.また,理論の構築とあわせて,非線形性の強い特異摂動問題,熱対流問題への適用を視野に入れた精度保証付き数値計算に対するアルゴリズムレベルおよびプログラムレベルの効率化を検討した.その具体的な成果として,平行Poiseuille流れの安定性を記述する非線形固有値問題の解に対する高精度な局所一意性付き包み込みに成功した.
(2) 非線形方程式の解をパラメータ連続的に追跡するためには,対応する線形化問題の可逆性の保証が必要であり,多くの問題において可逆性の保証は追跡対象パラメータが対応する固有値問題の固有値でないことの立証と同値であることが明らかとなっている.該当年度の研究として,与えられた集合に含まれるすべての要素が固有値でない(固有値の非存在)ことを検証する汎用的な手法の構築を行った.また,手法の具体的な適用事例として非自己共役複素固有値問題の固有値の除外に取り組み,流体力学的安定性を記述する代表的な方程式であるKolmogorov問題およびOrr-Sommerfeld方程式に対する固有値の非存在証明を与えることに成功した.
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