2012 Fiscal Year Annual Research Report
タイヒミュラー空間及びクライン群の変形空間の複素解析的構造の研究
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21540177
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
宮地 秀樹 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40385480)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / タイヒミュラー距離 / モジュライ空間 / 双曲幾何学 / 極値的長さ |
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| Research Abstract |
この研究の目標は，タイヒミュラー空間上の複素構造と曲面上の位相幾何学的性質の関係を解明することである．タイヒミュラー空間は自然な複素構造を持ち，その複素構造による小林距離は完備でありタイヒミュラー距離と一致する．Kerckhoffの公式により，タイヒミュラー距離は単純閉曲線の極値的長さの比を用いた表示を持つ．タイヒミュラー空間に関するThurston理論によれば，タイヒミュラー空間の点を適切な曲面上の幾何構造により曲面上の単純閉曲線全体上の関数として実現し，その完備化によりタイヒミュラー空間のコンパクト化が得られる．Thurstonによるコンパクト化は双曲計量によるものであり，コンパクト化は射影的測度付き測地線層の集合を境界に持つ．タイヒミュラー空間のタイヒミュラー距離と密接に関係する幾何構造は極値的長さであるため，極値的長さに関する完備化であるコンパクト化（Gardiner-Masurのコンパクト化）を考えることにより，複素構造と曲面上の位相幾何学的性質との関係を見る．極値的長さに関するコンパクト化は射影的測度付き測地線層の集合を含む．
本年度は，昨年度に得られた，タイヒミュラー空間の極値的長さに関する幾何とThurston理論を交点数関数を用いた統一化定理を基にタイヒミュラー距離に関する幾何を研究した．具体的には，タイヒミュラー距離に関する幾何と双曲幾何に関する幾何（Thurstonによるリプシッツ距離に関する幾何）の間の関係を研究した．Thurstonによる単純閉測地線の長さの近似式及び，Bonahonによる測度付き測地線層の長さの微分公式から自然に類推される類似を研究し，タイヒミュラー空間を有限凸錐として埋め込む写像を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間の複素解析的構造と曲面の幾何学に関するThurston理論との関連を見るために，タイヒミュラー距離に関する幾何学を用いている．Thurston理論は双曲幾何学により展開される．今年度の研究により，双曲幾何学と極値的長さの幾何学における類似が発見されたため，概ね順調であるとした．
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| Strategy for Future Research Activity |
双曲幾何学における対応物として考えられているThurstonのリプシッツ距離に対しても，タイヒミュラー距離における結果の類似を研究し相互の類似を確認する．またそれらの研究を通して，複素移動距離などのクライン群における複素解析的不変量との関係を調べ，複素構造と位相幾何学的性質との関係を研究する．
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[Presentation] Extremal length geometry of Teichmuller space2012
Author(s)
Hideki Miyachi
Organizer
Progress in Low-dimensional topology : Teichmuller theory and 3-manifold groups
Place of Presentation
Centre for quantum geometry of moduli spaces, faculty of science Aarhus university
Year and Date
20120811-20120811
Invited
