消散項を持つ双曲型方程式の解の漸近挙動と特異摂動問題

2010 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21540201
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 山崎 多恵子 東京理科大学, 理工学部, 教授 (60220315)
• Keywords: Kirchhoff方程式 / 消散項 / 漸近挙動

Research Abstract

時間に関する減衰が速い時消散項をもつキルヒホッフ型準線形双曲型偏微分方程式の解の存在と漸近挙動について考察した。
消散項をもつ線形双曲型偏微分方程式に関しては、消散項の係数の時間減衰の速さに応じて、双曲型方程式の解に漸近するか、放物型の解に漸沂するか分かれることが知られている。
消散項の係数が時間に関して可積分である程度に減衰が速い時の線形双曲型偏微分方程式に関しては、散乱作用素の存在が知られている。そこで、キルヒホッフ型準線形双曲型偏微分方程式に関しても同様の結果が期待できる。しかし、線形方程式と異なり、消散項のないキルヒホッフ型準線形双曲型偏微分方程式の解の存在については、遠方で減衰して小さい初期値に対してしか解の存在が知られておらず、減衰の速い消散項をもつキルヒホッフ型準線形双曲型偏微分万程式の大域解の存在・漸近挙動は、線形方程式と同様にはできない。一方、消散項の減衰が遅い時には、消散作用を用いて大域解の存在を示すことができるが、減衰が速い消散項をもつキルヒホッフ型準線形双曲型偏微分方程式の解の存在については、消散作用が弱いために同様の議論を用いることができない。本研究では十分強い消散項を持つキルヒホッフ型型準線形双曲型偏微分方程式に対する解の存在性及び減衰評価と、消散項がない場合のキルヒホッフ型準線形双曲型偏微分方程式に対する大域解の存在性を示す議論をあわせ用い、消散項の係数が時間に関して可積分な時に、遠方で減衰する小さい初期値に対して大域解の存在を示した。さらに、解が摂動項のない波動方程式の解に漸近することを示した。
本研究で得られた結果については、論文準備中である。