2021 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of numerical linear algebra based on lattice H-matrices and its high-performance implementation on modern architectures
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21H03447
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| Research Institution | Japan Agency for Marine-Earth Science and Technology |
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Principal Investigator |
伊田 明弘 国立研究開発法人海洋研究開発機構, 付加価値情報創生部門(地球情報基盤センター), 副主任研究員 (80742121)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
岩下 武史 北海道大学, 情報基盤センター, 教授 (30324685)
塙 敏博 東京大学, 情報基盤センター, 教授 (30308283)
横田 理央 東京工業大学, 学術国際情報センター, 准教授 (20760573)
平石 拓 京都橘大学, 工学部, 専任講師 (60528222)
大島 聡史 名古屋大学, 情報基盤センター, 准教授 (40570081)
星野 哲也 東京大学, 情報基盤センター, 助教 (40775946)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 近似計算 / 低ランク / H行列法 / 数値線形代数 / 行列近似 / 高性能計算 / 並列計算 / アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
格子H行列を用いた数値線形代数系の構築を目的とし、固有値計算、LU分解、QR分解などを実行する新しいアルゴリズムの研究・開発を行った。多くの成果が得られた中でも、主要なものとして、BLR(Block Low-Rank)行列の固有値計算法が挙げられる。格子H行列の特殊な場合であるBLR行列について、全固有値を計算するアルゴリズムを開発した。開発したアルゴリズムの計算複雑度を、BLR行列を特徴付ける行列サイズ・ブロックサイズ・各ブロックの階数(ランク)を変数として見積り、最適な条件を検討した。最適条件下で提案アルゴリズムの計算量が従来の密行列の場合に比べて大幅に低減させられることを理論的に示した。また、数値実験を用いて、計算時間が理論通り計算量に比例すること、および、固有値と固有ベクトルの誤差が階数を増やすにつれて密行列に近づいていくことを確かめた。
格子H行列法の適用範囲の拡大に取り組んだ。従来、格子H行列を含む低ランク構造行列法は境界要素解析（時間項を含まない空間領域の積分方程式法）への適用が想定されていた。時空間領域積分方程式法に適用範囲を拡張すべく、FDP(Fast Domain Partitioning)法と格子H行列法を組み合わせた手法を開発し、従来手法の計算量を開発手法では大幅に低減させられることを理論的に示した。さらに、３次元弾性波動伝播解析を提案手法で行う計算コードを開発し、理論に近い計算時間で解析が行えることを確かめた。
格子H行列法の高性能実装に関する研究においても多くの成果が得られた。主要な成果としては、タスク並列言語Tascellを拡張し、分散メモリ環境における行列分割構造生成の並列実装を提案した。3次元電場解析に対する約１億要素を用いた数値実験において、最大8ノード×36ワーカーで良好な高速化を達成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は格子H行列に対し、 (1)新しい数値計算アルゴリズムの研究開発、(2)適用範囲拡大の研究、(3)高性能実装法に関する研究、の３つの研究項目に大別される。研究項目(1)については、固有値計算法、LU分解法、QR分解法に関する新しいアルゴリズムを提案し、４件の学会発表（内、国際会議発表3件）を行った。また、得られた成果について３本の論文を査読付き論文誌に投稿した。研究項目(2)については、時空間領域積分方程式および地震周期解析へ格子H行列法を適用する研究成果３件について学会発表を行った。研究項目(3)については、H行列分割構造生成の分散メモリ並列環境実装、最新CPUアーキテクチャ向けH行列・ベクトル積最適化、BLR行列のQR分解実装法、等々の研究を行い、７件の学会発表（内、国際会議招待講演３件、国際会議一般発表１件）を行った。
全ての研究項目について、多くの研究成果が得られており、おおむね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
格子H行列の新しい数値計算アルゴリズムについて、これまでに行った固有値計算法、LU分解法、QR分解法の研究開発を引き続き実施する。これまで、各アルゴリズムの研究開発はノード内での計算に主眼を置いていたが、提案手法が行列サイズ数万以上で真価を発揮すると見込まれることから、分散メモリ並列計算アルゴリズムの開発を促進する。また、提案手法は近似計算手法であることから、計算された固有値や分解結果行列の計算精度が常に問われることが予想されるため、精度保証付き手法の研究にも着手する。更に、固有値計算手法については、これを発展させ、固有値のみでなく指定した固有値に対する固有ベクトルを計算するアルゴリズム計算する固有値問題解法の研究を進める。
格子H行列の適用対象拡大の研究に関しては、現在進行中の地震周期解析および破壊解析に加え、超電導解析や電子状態計算など他の候補への適用を模索する。
高性能実装法に関する研究に関しては、H行列分割構造生成の分散メモリ並列環境実装、最新CPUアーキテクチャ向けH行列・ベクトル積最適化、BLR行列のQR分解実装法に加え、混合精度演算の活用法とFPGA実装法の研究を実施する。また、格子H行列法はMPIプロセス間の負荷均衡を犠牲にして通信負荷を低減させる手法であるため負荷が不均衡になる弱点があるが、これを補うべく、各MPIプロセスに割り当てるコア数を変更し、各コアの計算負荷均衡を実現する研究を行う。
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Research Products
(19 results)
