2021 Fiscal Year Annual Research Report
Development, evolution, and new development of stochastic analysis of infinite particle systems
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21H04432
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| Research Institution | Chubu University |
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Principal Investigator |
長田 博文 中部大学, 工学部, 教授 (20177207)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
種村 秀紀 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40217162)
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
香取 眞理 中央大学, 理工学部, 教授 (60202016)
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
笹本 智弘 東京工業大学, 理学院, 教授 (70332640)
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| Project Period (FY) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / 確率解析 / ランダム行列 / 可解モデル / 確率幾何 / 統計物理 / 無限次元確率微分方程式 / Dirichlet形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
無限次元確率微分方程式を解く新理論が、この研究の中心の一つだが、それに関して、IFC条件をDirichlet形式を使用しないで証明するという重要な進展があり、論文として出版した。
この条件は無限次元確率微分方程式を、無限個のランダム環境を持つ有限次元確率微分方程式の、両立性を持つ族（スキーム）に分解し、無限回有限次元方程式を解くことで、無限次元方程式の解の存在と一意性を得るというもので、IFC条件は、このスキームの構成を保証する条件である。
従来は、Dirichlet形式理論を用いることで、キャパシティの概念を使用することで証明していたが、それでは、理論を、（準正則とは限らない）Dirichlet形式の一意性に使用することができなかった。今回、Dirichlet形式使用しない方法を編み出したことにより、Dirichlet形式の一意性を証明することができるようになった。また、将来的に、非対称な無限次元確率微分方程式や、ブラウン運動の項のない、無限次元常微分方程式にも、この理論を応用できる可能性が生まれた。
このように、これにより、無限次元確率微分方程式の解法に限らず、さまざまな種類の無限粒子系の諸問題が、解決できると考えられる。
その一例として、ランダム行列に関する無限粒子系の確率力学の原型である、無限次元Dysonモデルに対して、その既約性とエルゴード性を証明した。この結果は、上述のスキームの変種の、典型的な応用である。また、Dirichlet形式の一意性の応用として、ランダム行列の確率力学的普遍性を証明し、論文として出版した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限粒子系の解析学の、基礎理論の部分で進展があった。ジャンプ無限粒子系の確率微分方程式や、無限粒子系のエルゴード性、ランダム行列の確率力学的普遍性など、複数の種類の応用を進展してきた。
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| Strategy for Future Research Activity |
より強い剛性を持つ無限粒子系の確率力学について、研究を進展させていく。これは、コロナ以前に海外の研究者と共同研究していたものだが、それを再開し進展させる。β-Ginibre点過程の対数微分の構成を行い、確率微分方程式を解く研究を進展させる。幾何的剛性と、力学的剛性の関係を解明する。
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