Representation theory of elliptic quantum toroidal algebras and its application to integrable systems

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03191
• Research Institution: Aichi Institute of Technology
• Principal Investigator: 大島 和幸 愛知工業大学, 工学部, 教授 (30547980)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 楕円化 / 量子トロイダル代数 / 表現論 / 可積分系

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的はランクが2以上のgl_n量子トロイダル代数の楕円化を定義し，可積分系への応用を目指すことである．
今年度は，まずその足掛かりとして，gl_1 量子トロイダル代数を楕円化した楕円gl_1量子トロイダル代数を定義し，その表現論を構成し，可積分系への応用を調べた．まず定義した楕円gl_1量子トロイダル代数にホップ亜代数の構造を定めた．そして楕円gl_1量子トロイダル代数のZ代数を計算した結果，楕円gl_1量子トロイダル代数のZ代数は元のgl_1量子トロイダル代数のZ代数に等しく，Z代数は楕円化の影響を受けないことが分かった．さらにgl_1量子トロイダル代数のレベル(1,M)表現およびレベル(0,1)表現を拡張して，楕円gl_1量子トロイダル代数のレベル(1,M)表現およびレベル(0,1)表現を構成した．ドリンフェルト余積に基づき，レベル（1,M）表現とレベル(0,1)表現のテンソル表現上に頂点作用素を構成し，変形W代数を導出することができた．以上の結果を論文“Elliptic Quantum Toroidal Algebra U_{q,t,p}(gl_{1,tor}) and Affine Quiver Gauge Theories”（arXive:2112.09885） を共同研究者の今野均氏と共著で執筆し，論文誌に投稿中である．
ランクが2以上の場合のgl_nや他のリー環に対する量子トロイダル代数の楕円化については現在までに以下のような結果を得ている．一般のリー環に対する量子トロイダル代数の楕円化についても，定義はできている．さらにそのZ代数を求めることができ，やはり楕円化の影響を受けないことを確認した．レベル(1,M)表現とレベル(0,1)表現については，ランクが2以上のgl_nの場合のみであるが，量子トロイダル代数に対する先行研究を拡張して構成できている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

今年度は，依然として新型コロナウイルスの影響があり，学会や研究集会などがすべてオンラインとなり，共同研究者と直接会ってやりとりすることができなかったことが最も大きな理由として挙げられる．共同研究者とのやりとりは基本的にメールで行われたが，やはり問いに対してその場で答えることができないという状況では非常に議論が進みにくかった．zoomでのミーティングも試みたものの，やはり直接会って黒板やホワイトボードの前で議論する以上に効果的な方法はないように思われる．

Strategy for Future Research Activity

まずは，一般のリー環に対する量子トロイダル代数について，定義やZ代数，ランクが2以上の楕円gl_n量子トロイダルに対するレベル(1,M)表現，レベル(0,1)表現など調べた結果をまとめて論文を共同研究者の今野均氏と共著で執筆する予定である．
さらにランクが2以上のgl_nに対する楕円量子トロイダル代数に対しては，レベル(1,M)表現とレベル(0,1)表現を構成できているので，そのテンソル表現上に頂点作用素を構成する．この構成については頂点作用素のおおよその形を設定してintertwining関係式を書き下して比較することにより求めることができると考えている．そして，得られた頂点作用素から変形W代数を導出することについても，gl_1の場合の結果を参考にしながら計算できるものと思われる．そして，この変形W代数から導かれる「ネクラソフ分配関数」はgl_1の量子トロイダル代数から導かれる「通常のネクラソフ分配関数」の自然な拡張になっているであろうと期待している．
一般のリー環に対する楕円量子トロイダル代数については，レベル(1,M)表現についてはFrenkel-Jing のKac-Moodyリー環のaffinizationに対するレベル1表現の構成を拡張することによってsimply lacedの場合であれば，一般のリー環に対する楕円量子トロイダル代数に対して構成することができると考えており，現在計算を進めている．non-simply lacedの場合も，Kac-Moodyリー環の場合におけるBernard-Thierry-Miegのような形でできるのではないかと考えているが，具体的に計算はまだ行っていない．レベル(0,1)表現については，量子トロイダル代数における先行研究も全くなく，現段階で見通しは立っていない．このような表現の構成については今後の研究の課題の一つである．