2023 Fiscal Year Research-status Report
Existence problem of canonical Kaehler metrics and Hitchin equation
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21K03234
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
新田 泰文 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (90581596)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | K安定性 / Ding安定性 / 端的Kaehler計量 / 満渕ソリトン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
標準Kaehler計量の存在問題と安定性との関係について研究を行い次の成果が得られた。
（１）満渕俊樹氏により、満渕ソリトンを許容する任意のFano多様体はその第1Chern類に端的Kaehler計量を含むことが知られている。我々は、3以上の全ての次元において、全てのKaehler類が端的Kaehler計量を含むにも関わらず満渕ソリトンを持たないFano多様体を発見した。（齋藤俊輔氏との共同研究）我々の構成で鍵となるのが満渕定数と呼ばれるFano多様体の不変量であり、満渕ソリトンを許容するには満渕定数が1未満であることが必要となる。我々は満渕定数のある種の積公式を導くことにより上記の例を発見した。以上の結果は"Examples of relatively Ding unstable Calabi dream manifolds"として論文にまとめ、Proceedings of the American Mathematical Societyに掲載された。
（２）上記で述べたように、Fano多様体において満渕ソリトンの存在は端的Kaehler計量の存在を導くが逆は必ずしも成り立たない。しかし、我々は、満渕定数が1未満であるFano多様体においては端的Kaehler計量の存在が満渕ソリトンの存在を導くことを証明した。(V. Apostolov氏との共同研究) 満渕定数が1より大きなFano多様体は満渕ソリトンを持ち得ないため、満渕ソリトンと端的Kaehler計量の関係を考える上でこの仮定は最良のものと言える。さらに、Han-Liの結果と組み合わせると、満渕定数が1未満であるFano多様体に対しては端的Kaehler計量に対する（一様版）Yau-Tian-Donaldson予想が成り立っていることが分かる。以上の結果は現在論文にまとめ投稿準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Fano多様体における満渕ソリトンと端的Kaehler計量の間の関係はかねてからの疑問であったが、思いがけず望んでいた形での解決が得られた。このことから研究の進捗は順調であると判断している。
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| Strategy for Future Research Activity |
満渕ソリトンと端的Kaehler計量の間の関係を重み付きスカラー曲率の言葉で捉え直し、或るvソリトンと重み付きスカラー曲率一定Kaehler計量の間の関係として包括的に理解する。また、昨年度から継続している漸近的相対Chow安定性の研究もさらに進めていきたいと思っている。
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| Causes of Carryover |
本年度は後半に所属研究機関の在外研究員事業によりNantes大学のApostolov氏の研究室に滞在することとなった。そこでの共同研究に集中するために、当初予定していた出張をいくつか取りやめにしたため次年度使用額が生じた。
次年度は本年度の研究を継続するとともに、研究成果が得られ次第その発信にも努めたいと思っている。また、Apostolov氏と定期的な研究連絡を行うため、その出張旅費を次年度の研究費から充てたいと考えている。
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