2023 Fiscal Year Research-status Report
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21K03254
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
豊田 哲 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 准教授 (50599701)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | CAT(0)空間 / 距離空間 / 非正曲率性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は, 非正曲率距離空間の部分集合の性質, 特に全てのCAT(0)空間において成立する二次距離不等式（以下、CAT(0)二次距離不等式と呼ぶ）を特徴づけることを目標に研究を進めてきた. また, 本研究では, そのための最初のステップとして, いわゆる「重み付き4点不等式」から導かれないようなCAT(0)二次距離不等式を見出すことを掲げてきた. 2023年度の本研究では, Andoni, Naor, Neimanの3人によって確立されたCAT(0)二次距離不等式の族に注目して研究を進めた. この不等式族は, 「重み付き4点不等式」よりはるかに多くの不等式を含み, 現時点までに明示的に記述された全てのCAT(0)二次距離不等式を含むものである. そのため,「この不等式族から全てのCAT(0)二次距離不等式が導かれるか?」と問うことは自然である. 2023年度の研究において, 報告者は最終的にこの質問を否定的に解決した. すなわち, Andoni-Naor-Neimanの不等式族からは導かれないCAT(0)二次距離不等式が存在すること, 言葉を変えると, Andoni-Naor-Neimanの不等式族に含まれる全ての不等式を満たすにも関わらず, いかなるCAT(0)空間へも距離を保って埋め込むことができない距離空間が存在することを証明した. この内容の一部は, 2024年1月に熊本大学にて行われた研究集会「測地線及び関連する諸問題」において「On quadratic metric inequalities that hold true in every CAT(0) space」というタイトルで発表した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最終的な目標の達成には至っていないものの, Andoni-Naor-Neimanの不等式族からは導かれないCAT(0)二次距離不等式が存在すること, 言葉を変えると, Andoni-Naor-Neimanの不等式族に含まれる全ての不等式を満たすにも関わらず, いかなるCAT(0)空間へも距離を保って埋め込むことができない距離空間が存在することを証明できたことは, 本研究において意義のある成果だと考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
2023年度までに, これまで本研究において注目してきた「重み付き4点不等式」よりもはるかに多くの不等式を含む「Andoni-Naor-Neimanの不等式族」に含まれる全ての不等式からも導くことができないCAT(0)二次距離不等式が存在するという結果を得ることができた. これにより, Andoni-Naor-Neimanの不等式族から導かれないようなCAT(0)二次距離不等式を見出すことが本研究における今後の重要な課題となる. Andoni-Naor-Neimanの不等式族は, 現時点までに明示的に記述された全てのCAT(0)二次距離不等式を含むものであるため, 上記の課題において述べたような不等式, あるいはそれに対応する「非正曲率距離空間の性質」を見出すには, 新たなアイデアが求められることになると考えられる. 今後は, 2023年度までに得た成果の発表を行うと同時に, 本研究においてこれまでに蓄積してきた内容を生かす形でこの課題に取り組んできたい.
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| Causes of Carryover |
予定していた出張の一部が実施できなかったことにより, 次年度使用額が生じている. 今後, 研究発表・情報収集のための出張を多く行いたいと考えているので, その際の出張旅費として使用したいと考えている.
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