2021 Fiscal Year Research-status Report
Development of Theory of Integrable Systems Describing Geometric Shapes
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21K03329
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
梶原 健司 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40268115)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 可積分系 / クライン幾何 / 離散正則函数 / 弾性曲線 / 対数型美的曲線 / 離散微分幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
弾性曲線，対数型美的曲線による曲線の最適近似理論に取り組み，3Dスキャナで取り込まれた3次元点群データを平面に射影し，スムージング後に等間隔の平面点群データ（平面離散曲線）に変換し，得られた等辺離散曲線を可積分離散弾性曲線でパラメトリックに近似する理論を構築し，実装した．得られた方法を建築学の問題であるアンティーク桟瓦のキーラインの同定問題に適用し，離散弾性曲線による特徴付けを与えた．また，与えられた平面曲線の対数型美的曲線による近似理論を構築し，3Dスキャナから得られる平面離散曲線データを対数型美的曲線で近似するアルゴリズムを実装した．得られた方法を自動車の屋根のキーラインに適用して，対数型美的曲線で同定した．これらの成果は工業意匠設計におけるリバースエンジニアリングに重要である．
また，3階のBurgers-mKdV結合系を研究し，これがmKdV方程式とmKdV方程式に付随する補助線形問題との連立系であること，またその階層構造を明らかにした．相似幾何における空間曲線がゲージ変換によりユークリッド幾何の曲率一定曲線に対応すること，また曲率一定曲線がさらに接ベクトルと陪法線ベクトルを入れ換えるゲージ変換で捩率一定曲線に対応することを示し，さらにBurgers-mKdV方程式の記述する対数型美的曲線の空間版の設定の下で，接ベクトル（元の陪法線ベクトル）が明示的に積分可能であるという驚くべき結果を得た．
さらに，ユークリッド幾何における平面（離散）曲線と捩率一定の空間（離散）曲線に対する連続・離散等周変形に対する楕円テータ函数による明示公式を構成した．この成果はカライドサイクルと呼ばれる1自由度でエネルギーを消費せずに動く閉リンク機構への応用が見込まれる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
弾性曲線，対数型美的曲線による最適近似理論は予想以上に研究が進展し，建築や工業意匠設計への応用ができた．また，Burgers-mKdV系とその階層構造がほぼ解明され，その応用として空間版の対数型美的曲線の定式化が進み，現在，その変形が張る曲面（美的曲面の一つの候補）の研究が進展中である．さらに，平面・空間離散曲線の等周変形の楕円テータ函数による明示公式の研究が進展し，特に空間における捩率一定の閉曲線に対する研究が進んでおり，リンク機構への応用が見込まれる．一方で，楕円型離散可積分系，離散正則函数の研究は予定通り今年度着手することにしている．以上の状況から，予定通り（一部は予定以上に）進展していると総括することができる．
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| Strategy for Future Research Activity |
mKdV-Burgers方程式階層の研究をさらに進めるとともにτ函数などを研究し，最終的に空間版対数型美的曲線および「美的曲面」の明示公式にまでつなげる．また，他のクライン幾何で有力なのは等積幾何だが，そこでの弾性曲線類似の研究を進める．また，楕円型の可積分系の構造，離散正則函数とその明示公式の研究に着手する．最後に，離散弾性曲線，対数型美的曲線による平面（離散）曲線の近似手法に関して成果を取りまとめてフルペーパーを発表する．また，捩率一定空間離散曲線の等周変形理論の研究を推進し，カライドサイクルの明示公式を構成する．コロナ禍による制約の緩和に合わせて研究発表，打ち合わせの機会を海外も含めて積極的に活用し，資金は当初の予定通り使用する．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス流行により，予定していた出張をほぼ全てキャンセルせざるを得ず，旅費をほとんど使うことができなかった．令和4年度以降，ウィルス流行による制約の緩和とともに旅費を使用して，海外を含めて研究発表，研究打ち合わせなどを積極的に行い，予定通りの経費執行を行う．
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