2022 Fiscal Year Research-status Report
補間法によるランダムスピン系の自己平均性と時間発展に関する研究
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21K03393
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
糸井 千岳 日本大学, 理工学部, 特任教授 (70203122)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ランダムスピン系 / 自発的対称性の破れ / レプリカ対称性の破れ / 補間法 / 自由エネルギー / 秩序変数 / 平均場模型 / 量子スピン系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Sherrington-Kirkpatrick模型に代表される古典的な平均場ランダムスピン模型の低温領域において，自発的対称性の破れの一つであるレプリカ対称性の破れが起こることがよく知られている．2021年にWarzelらは量子系であるGauss型のランダム結合を持つ横磁場Sherrington-Kirkpatrick模型において横磁場が十分弱いならば低温でレプリカ対称性が破れることを示した．我々の研究もその流れを汲み，「レプリカ対称性の破れがどれだけ普遍的な現象であるか」という問いに向かって研究を行った．我々は新しい平方根補間法を開発することによって，Gauss型のランダム結合に対して導かれたWarzelらの定理を一般の分布に従うランダム結合を持つ横磁場SK模型に拡張した．我々はこの結果を2023年2月，Journal of Statistical Physics に論文として発表した．
最近，我々は古典的なランダムスピン系に対するゲージ理論によって西森線上ではレプリカ対称性の破れが起きないことを証明した．また，この理論を横磁場Edwards-Andeson模型に適用し，降温によるスピングラス転移で磁化率が発散しないことを証明した．以上の技術的な発展に基づき，さらに量子HeisenbergXYZスピングラス模型に対して，新たなゲージ理論を開発した．これによって結合定数のスピングラス領域を特定し，この模型でも降温によってスピングラス転移の磁化率が発散しないことを導いた．また，新しい量子スピン系のための相関不等式の系列を導いたので，それらの結果を論文にまとめた．現在，これら４編の論文を投稿中である．現在，高次元のEdwards-Andeson模型においてレプリカ対称性の破れが起こるかという古くから議論されてきている問題に答えるため，数学的技術を磨き続けている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Warzelらによって証明された「Gauss型のランダム結合を持つ横磁場Sherrington-Kirkpatrick模型において横磁場が十分弱いならば低温でレプリカ対称性が破れる」という定理を我々は一般の分布に拡張し，2023年2月にJournal of Statistical Physics から論文を発表した．これらは長距離相互作用を持つ模型に対する研究であるが，一方，より現実的な短距離相互作用を持つランダムスピン模型を研究することは，実験などで得られている結果と比較する上で重要である．短距離相互作用を持つランダムスピン模型研究に有用な理論として西森のゲージ理論がよく知られている．我々はこの理論をランダム縦磁場摂動を加えた模型に拡張することによって，この模型のスピングラス相で自発磁化が消えることやスピンの重なりの分散が無限体積極限で消えることを示し，現在論文を投稿中である．さらに西森のゲージ理論をランダム縦磁場摂動を加えたランダム量子スピン模型に拡張することによって，スピングラス相で自発磁化が消えること，及び，実験などでも知られている常磁性相からスピングラス相に転移するとき磁化率が有限になることの厳密な証明を与え，現在論文を投稿中である．
さらに，我々はランダム量子スピン系の研究をする必要から，一般の量子系に対して成立するBogoliubov型の相関不等式系列をいくつか導いた．例えば，Bogoliubov-Harris 型の相関不等式に対する高温展開の任意の次数の補正が得られている．新しく導かれたこれらの相関不等式系列を論文を投稿している．これらの相関不等式は，ランダム量子スピン系の臨界現象研究を動機として導いたが，高温展開の補正が得られていて低温領域であまり有用ではないため，低温展開の補正を模索している．以上のことから研究は概ね順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
短距離相互作用を持つスピン系を含む統計力学の模型には上臨界次元が存在し，その次元より高い次元ではその模型の臨界現象が，長距離相互作用を持つ模型の臨界現象に一致することが一般に知られている．もしこの一般的な予想がランダムスピン系でも成り立つとすると，短距離相互作用を持つスピン系であるEdwards-Anderson(EA) 模型にはある上臨界次元が存在し，その次元より高い次元ではEA模型の臨界現象は，長距離相互作用を持つ模型であるSherrigton-Kirkpatrick(SK)模型の臨界現象に一致する．したがって，これが正しければ十分高い次元のEA模型においてレプリカ対称性の破れ(RSB)が起こる．このことを具体的に証明することは，SK模型に対するParisiの完全なRSB解が1979年に発表されて以来，嘱望されているが，非常に困難な問題として知られている．我々はこの大問題に接近しようとSK模型の臨界現象の摂動に対する安定性や普遍性，EA模型の自由エネルギーや秩序変数の振る舞いについて研究を進めている．最近，我々はSK模型に量子摂動を印加したとき，スピンの重なりの分散が消えないことの普遍性を調べて発表した．この様な研究に加えて，臨界現象を調べるための相関不等式の開発を模索している．また，現在，秩序変数の振る舞いだけでなく，この量子SK模型のレプリカ対称自由エネルギーの不安定性についての厳密な理論の構築を試みている．また，EA模型や量子EA模型の臨界現象は西森のゲージ理論によって秩序変数や相関関数を調べることによる研究が行われてきているが，これらの方法を対称性を破る摂動を加えた模型に拡張することにより，自発磁化が消えることや磁化率の有限性などの新しい結果を導いた．我々はこれらの拡張に更なる改良を重ね，EA模型や量子EA模型の臨界現象を明らかにすることを目指している．
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| Causes of Carryover |
論文を学術誌に発表する際のオープンアクセス費用として予算計上していたが，円安の影響により予算不足になったため，次年度に見送り，次年度に発表する論文のオープンアクセス費用として予算計上することにした．
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Research Products
(4 results)
