2022 Fiscal Year Research-status Report
Well-posedness of a model for the dynamics of fluids with the moving contact line
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21K13826
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
渡邊 圭市 早稲田大学, 理工学術院, 講師(任期付) (30875365)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / 最大正則性 / べゾフ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和４年度は主として以下の２つの成果を得た．1）柴田良弘氏（早稲田大学）との共同研究を通じて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の初期値境界値に対して，最大L1正則性定理を証明した．特に，時間変数に関してルベーグ空間 L1，空間変数に関して可微分指数 -1+1/q < s < 1/q，可積分指数qの非斉次べゾフ空間 B^s_{q,1} の枠組みにおいて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の解が一意に存在することを示した．これまでに斉次べゾフ空間の枠組みにおいて，Danchin et al.（プレプリント）や小川・清水（2021）による最大L1正則性定理の別証明が知られていたが，本研究では従来の最大 Lp-Lq 正則性理論を拡張する形でストークス方程式に対する最大L1正則性理論の確立に成功した．将来的には表面張力を伴うナビエ・ストークス方程式の自由境界問題のように，双曲・放物型偏微分方程式系に対する最大L1正則性理論の構築が期待される．2）藤井幹大氏（九州大学）との共同研究を通じて，コリオリ力を伴う圧縮性ナビエ・ストークス方程式の長時間可解性を，スケール不変な斉次べゾフ空間において証明した．特に，回転と音波による分散性について臨界べゾフ空間における解析を行い，任意の有限時刻と臨界べゾフ空間に属する任意の初期値に対して，回転速度を十分大きくかつマッハ数を十分小さくとると，与えられた有限時刻までの解が一意的に存在することを証明した．以上の研究成果は，日本数学会秋季総合分科会や京都大学数理解析研究所の「共同研究（公開型）」にて発表した（ただし，発表者はそれぞれ柴田良弘氏と藤井幹大氏である）．また，それぞれの研究成果は共著論文として現在投稿準備中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
準線形放物型偏微分方程式系に対する最大L1正則性の理論の構築が期待以上に進み，従来よりも正則性の低い初期値に対して方程式系の時間局所・大域解の一意存在を証明する見込みが立ったため．実際に，令和４年度は，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式に対する最大L1正則性定理の証明に取り組んだが，同様の手法を接触角を伴うストークス方程式の自由境界問題に応用することで，同方程式の時間局所解の一意存在を証明できると期待できる．現時点において，接触角付近における特異性を扱うためには可積分指数を2あるいは1に十分小さく取る必要があるが，通常の最大Lp-Lq正則性定理の枠組みで方程式系の時間局所解を構成しようとした場合，ソボレフの埋め込みから可積分指数を空間変数の次元より大きく取る必要があり，前述の可積分指数と乖離があった．しかし，令和４年度に確立した最大L1正則性理論を適用することで，この問題点を解消することができると期待される．
また，令和４年度は，新型コロナウィルスの感染状況が改善したため，接触角を生成するナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の研究に精力的に取り組んでいるJurgen Saal 教授や Matthias Kohne 博士らを研究訪問するためにデュッセルドルフ（ドイツ）に渡航することができた．同教授らと対面で議論を重ねることができ，同方程式に関して十分な意見交換等を行うことができた．
以上の研究状況を総合し，研究代表者は，本研究はおおむね順調に進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
1．自由境界条件を伴う（初期時刻における流体の占める領域が）半空間におけるナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の時間局所・大域適切性の証明に取り組む．さらに，有界領域や外部領域などのように，境界が曲がっている領域に対して令和４年度に得られた結果を拡張する．また，表面張力を伴う場合のように，双曲・放物型偏微分方程式系に対して最大L1正則性定理を証明できるか検討する．
2． 接触角を生成するストークス方程式の自由境界問題の解表示を導出し，同方程式に対する最大L1正則性定理の証明に取り組む．
3．接触角を生成するナビエ・ストークス方程式の自由境界問題の定式化に詳しい Matthias Kohne 博士（ドイツ）を研究訪問する．さらに，本研究に関連する国際研究集会を開催し，国内外の研究者と情報を交換する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染状況の改善が当初期待していた時期よりも遅くなり，海外渡航の回数が予定を下回ったため．
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