2022 Fiscal Year Research-status Report
Constructions of discrete integrable systems with eigenvalue preserving transformations and their asymptotic analysis
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21K13844
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
新庄 雅斗 同志社大学, 理工学部, 助教 (10823081)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 固有値 / 固有ベクトル / 離散可積分系 / ツイスト分解法 / Stride reduction |
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| Outline of Annual Research Achievements |
科学技術計算において，行列の固有値や固有ベクトルを求める問題は重要とされており，現在，既存の計算法に対する計算量の削減や高精度化を目指した新たな計算法の定式化が求められている．可積分系の方程式がその時間発展において十分な保存量をもつことを背景に，本年度では，2重対角行列積で与えられる帯行列に関連するラックス可積分系の方程式に対して，その離散版がLR変換に対応づくことを中心に，これまで別々に議論されてきたラックス可積分系の離散版を包括的に議論した．また，2重対角行列積構造をもたない一般の帯行列に関連するラックス可積分系の方程式に対して，巧く離散時間変数を導入することで得られるq離散版およびその収束性を明らかにした．このq離散版の方程式はラックス可積分系を起点としていることから，任意の離散時間発展において，帯行列の固有値をすべて保存するため，q離散版に基づいて定式化された計算法は帯行列の固有値計算を可能にする．さらに，固有ベクトル計算法として，比較的，高精度に固有ベクトルを計算するツイスト分解法が知られているが，連立一次方程式に対する直接法である Stride reduction 法を巧く前処理に組み込むことで，分割処理による計算時間短縮を可能にした前処理付き計算法を提案した．提案法では，Stride reduction法のもつ行列構造の変換を利用したことで，分割数を任意に設定できるため，問題設定や計算機環境に合わせた固有ベクトル計算が可能になる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ラックス可積分系を中心とした離散版の導出，および，それらの漸近的な振る舞いを活かした固有値計算法を提案していることから，本研究課題はおおむね順調に進展していると考える.
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| Strategy for Future Research Activity |
LR変換に対応づく離散可積分系の時間発展を特殊化および一般化する方向で，QR分解などの行列積分解を可積分系の時間発展として捉えた新しい離散可積分系の導出を試みる．また，Hessenberg行列などの帯構造をもつ行列に対する固有ベクトル計算法の定式化についても検討する．
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| Causes of Carryover |
社会情勢を鑑みて，移動を伴う学会出張や直接的な研究打ち合わせを控えたことから，旅費経費として予定していた金額の支出がなかったため，支払請求額と実支出額とに金額の差が生じた．翌年度分として請求した助成金と合わせて，次年度使用額は旅費として支出することを予定している．
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