2022 Fiscal Year Research-status Report
A new look into various arithmetic and topological invariants through the eyes of modular knots
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21K18141
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松坂 俊輝 九州大学, 数理学研究院, 助教 (60868157)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2026-03-31
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| Keywords | モックテータ関数 / モックモジュラー形式 / 結び目不変量 / 実2次体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代表者は，2020 年に J. of Ramanujan Math. Soc. に掲載された， Carsten Elsner，立谷洋平と共同で行った古典的なテータ関数の値の代数独立性，超越性に関する研究を，Daniel Duverneyも加えさらに発展させ，フィボナッチ数を用いた無限積の超越性および代数独立性に関する結果を発表することが出来た．この研究はテータ級数，デデキントエータ関数などモジュラー形式をふんだんに使うもので，モジュラー関数の実2次点での値の超越性にも道が開けないものかを探る研究を引き続き立谷と進めている．
分担者松坂は植木潤と共同で，2007年の Ghys による，三葉結び目 K の結び目補空間と同相である SL2(Z)\SL2(R) における，測地流の閉軌道としてのこの空間内のモジュラー結び目 C と，三葉結び目 K の絡み数 Lk(C,K) がRademacher記号 Ψ(γ) と等しくなるという結果を，モジュラー群を一般化した三角群 Γ_{p,q} に対し，同様の商空間 Γ_{p,q} \ SL2(R)や，そのS^3への持ち上げに対して，同様にモジュラー結び目を定義し，その絡み数を考察することで一般化した．一方で，三角群に対する調和 Maass 形式を考察し，重さ2の Eisenstein 級数 E2(z) の三角群への拡張を与えることで，そのサイクル積分として三角群の Rademacher 記号を定義し，Ghysの結果の拡張として，絡み数 = Rademacher記号 の形の等式を得た．さらに，三角群の Rademacher 記号を，浅井哲也の研究 (1970) のような，2次（有界）コホモロジー群 H^2(Γ_{p,q}, Z) の文脈で自然な特徴付けを与えた．他にも多重ベルヌーイ数やその一般化に対する様々な結果を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モジュラー形式の値に関連するような数達の独立性，従属性の結果も，将来の発展如何では本研究課題の目的達成に重要な役割を果たしうるが，Ghys の結果を三角群に一般化した結果は，まさに研究計画で述べたことを実現する第一歩であり，コロナ禍による制限がまだ残る中，概ね順調な進展が見られたと判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き新型コロナ感染症の状況を見据えながらのこととなるが，モックモジュラー形式，調和マース形式などの関連研究を調べながら，モジュラー結び目， そして楕円モジュラー j-関数の実二次点での値をキーワードとした研究を進めていく.すなわち，従来の視点を大きく広げて，実二次体や不定値二次形式の数論に資する数論的不変量を取り出していくことを目標として研究を進める.クライン群の保型形式にまで枠組みを広げていくのも，未知の分野への探求であり， 大変興味深い方向であると考えている. 出来れば対面で，水野義紀，Zagierらとの議論を行いながら方向性を探っていく. これまでの古典的な成果を見直しを継続し，研究をすすめていく. キャリバーについての研究は，余り多くの研究者が取り組んでいない分野でもあり，まだまだ発展させる余地がある. モジュラー関数との関連を見出すべく，関連研究者と議論を進める.多重ゼータ値関連の研究も，本研究に活かせるところは活かし，引き続き推進していく.
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| Causes of Carryover |
引き続いた新型コロナ感染症の影響で，対面での研究打ち合わせが十分にできなかったこと，また，計画していたドイツおよびアメリカへの渡航がずるずると延引され，年度末近くの可能性を探ったが，先方の事情もあり，実現されなかった．加えて，雇用予定であったポスドクが急遽就職が決まったため，別の候補者を探したが，日本人の中で適当な人を見つけることができず，外国人ポスドクも様々な事情により渡航困難であった．次年度はようやく状況が改善すると見込まれるので，水野らとの議論や研究打ち合わせのための旅費に予算を使用，また，Zagierや Duke，Imamogluらとの議論のため，ドイツやアメリカに渡航もしくは招聘を行う. また，研究補助のための適当なポスドクを引き続き探していく.
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