2021 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds
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21K18583
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下川 航也 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (60312633)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | 結び目 / メビウス・エネルギー / 変分問題 / 絡み目 / ガウス写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、曲線や曲面を表示する写像をその位相的性質で分類し解析するものである。まず、端緒として絡み目を表示する写像を扱った。絡み目型を特徴付けるものの一つに絡み数がある。３次元空間内の絡み目の場合、絡み数は絡み目が定義するガウス写像の写像度である。これはガウス写像とその導関数の積分によって表現される。そのため、絡み数は解析的に位相的性質を特徴付けるものである。ｎ次元の場合はガウス写像は２次元トーラスから(ｎ－１)次元球面への写像となるので３次元以外では写像度は定義されない。しかしガウス写像自体は問題なく定義される。そこで、ガウス写像を活用した解析を試みた。また、結び目を2成分絡み目の成分を一致させた極限と見なす事により、結び目についても解析を拡大した。
代表者はこれまでメビウス不変な結び目のエネルギーのメビウス不変分解を示し、変分公式の導出やその評価を行った。令和3年度の研究では、メビウス不変分解をガウス写像を用いて表現する事に成功した。この表現は2成分絡み目にも有効である。分解のメビウス不変性についても、ガウス写像を利用した方法を見出し、従来の方法を精錬させた。
結び目のエネルギーは特異積分で表されるため、緻密な解析が求められる。一方、絡み目のエネルギーは非特異な積分になるため、解析しやすいと考えられる。そこで、2成分絡み目のエネルギーを結び目のエネルギーの正則化と見なす方法を考え、特別な場合であるが、2成分絡み目のエネルギー特異極限によって結び目のエネルギーが導出される事を確認した。
これらの研究成果は、日本数学会の2022年度年会で公表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
絡み数は絡み目型をある程度特徴づけるが、完全な特徴付けではない。例えば、自明な絡み目とホワイトヘッド絡み目は共に絡み数０であるが絡み目型は異なる。しかしながら、絡み数の定義に用いられるガウス写像に注目したことで、既存のメビウス・エネルギーのメビウス不変分解について新たな知見が得られたことは、研究の推進方向としては的外れではないと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
多成分絡み目について、従来に知られるものとは異なるメビウス不変エネルギーを発見した。但し、メビウス不変以外の性質は未知であり、有用なものかどうか解明したい。
結び目のメビウス・エネルギーの第一分解エネルギー、２成分絡み目のメビウス・エネルギー、種数１の閉曲面に対するウィルモア汎関数は、いずれもメビウス不変でありエネルギー下限が共通の値2π^2という類似性を持つ。背景に潜む数学的構造を解明する。
また、メビウス・エネルギー以外の結び目エネルギーについて、ガウス写像が有効であるかを解析する。
絡み目数は絡み目型を完全に特徴付けする訳ではない。ライジング数やヘリシティなどを解析に導入する。また、それらの高次元アナログを開発し、曲面に関する変分問題に活用する。
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| Causes of Carryover |
研究成果発表のための旅費・宿泊費を計上していたが、オンライン開催となり不要となった。
令和３年度は研究分担者は代表者と同じ機関に所属であり、研究連絡に旅費等は不要であったが、令和４年４月に他機関に異動したため、今後の研究連絡のために転用する。
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