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2022 Fiscal Year Research-status Report

Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds

Research Project

Project/Area Number 21K18583
Research InstitutionSaitama University

Principal Investigator

長澤 壯之  埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 下川 航也  お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (60312633)
Project Period (FY) 2021-07-09 – 2024-03-31
Keywords結び目のエネルギー / メビウス・エネルギー / 絡み目のエネルギー / 分解エネルギー / 調和写像
Outline of Annual Research Achievements

結び目のエネルギーの代表であるメビウス・エネルギーの諸性質を理解するために、結び目だけでなく絡み目のエネルギー全般を解析し、メビウス・エネルギーの特殊性を浮き挙がらせる方法を用いた。
結び目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解が絡み目に対するメビウス・エネルギーについても成り立つ事が分かった。分解エネルギーについては、同一のものにかからわず、様々な表現が知られている。ここでは、ガウス写像を用いた表現を得た。絡み目の場合、ガウス写像の写像度が絡み数という位相不変量となる。このように位相を表現する量を用いて分解エネルギーが表現できたことは、位相を固定したときの変分問題に応用できるのではと考えられる。
元々第一分解エネルギーは分数冪調和写像のエネルギーとの類似が指摘されていたが、第二分解エネルギーはガウス写像を用いる事で波動写像(調和写像の一種)と緊密に関連する事が明らかとなった。これは、当初は想定していなかった発見である。調和写像については従前より膨大な研究成果があり、結び目や絡み目のメビウス・エネルギーの新たな知見が得られることは期待できる。
更に、メビウス・エネルギーのメビウス不変分解は、ユークリッド空間内の結び目や絡み目に対して成立するが、これはユークリッド空間で中線定理が成り立つことに由来することも明らかになった。これは、前ヒルベルト空間に値をもつ結び目や絡み目に対する場合でも類似の結果を生むことを示唆する。これも研究当初では想定しなかった発見である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

第二分解エネルギーが波動写像に関連することは当初は想定されていなかった発見である。この結果は、解析幾何学の分野において強い関心を持たれ、日本数学会特別講演をはじめとする複数の招待講演を依頼されるなど、当初の計画以上の十分な成果と考えられる。また、メビウス不変分解が中線定理から解釈できることも新たな発見である。今後の研究の推進方策でも述べるが、これは発展方程式の周期解の解析に寄与できる可能性を見出せるものである。なお、令和4年度内に著書1編、査読付き論文1篇が出版された他、現在関連する複数の論文を作成中である。課題に関する成果発表は8件である。

Strategy for Future Research Activity

メビウス・エネルギーのメビウス不変分解は、ユークリッド空間内の結び目や絡み目に対して成立する事が明らかになったが、これはユークリッド空間で中線定理が成り立つことに由来することも明らかになった。これは、前ヒルベルト空間内の結び目や絡み目においてもエネルギー分解が可能であることを示唆する。もともと結び目や絡み目は位相幾何学の対象であるので、その観点からはこのような一般化は意味は薄い。しかし、発展方程式の周期解は、バナッハ空間内の結び目や絡み目となることを考えると、この分野への寄与する可能性がある。内積を持たない空間内の結び目や絡み目に対するメビウス・エネルギーについては、同様の結果が成り立たないかを考えたい。但し、このような空間は「回転」という概念がないため、これまでとは異なる議論が必要となる。

Causes of Carryover

現在論文3篇を作成中である。そのための英文校閲のための経費が必要となるが、当初の見込みより経費が掛かる見込みのため、次年度に経費を回すことにした。

  • Research Products

    (13 results)

All 2023 2022 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (1 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Peer Reviewed: 1 results) Presentation (8 results) (of which Int'l Joint Research: 2 results,  Invited: 5 results) Book (1 results) Remarks (2 results)

  • [Int'l Joint Research] Salzburg University(オーストリア)

    • Country Name
      AUSTRIA
    • Counterpart Institution
      Salzburg University
  • [Journal Article] A Mobius invariant discretization of O’Hara’s Mobius energy2022

    • Author(s)
      Blatt Simon、Ishizeki Aya、Nagasawa Takeyuki
    • Journal Title

      Journal of Knot Theory and Its Ramifications

      Volume: 31 Pages: -

    • DOI

      10.1142/S021821652250016X

    • Peer Reviewed / Int'l Joint Research
  • [Presentation] Mobiusエネルギーの分解と波動写像2023

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      日本数学会2023年度年会函数方程式分科会
    • Invited
  • [Presentation] Decomposition of the O'Hara energy2023

    • Author(s)
      T. Nagasawa
    • Organizer
      "Energies of Knots, Residues of Manifolds and Related Topics"
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The Mobius energy for knots as a limit of that for links2023

    • Author(s)
      T. Nagasawa
    • Organizer
      Workshop Critical Exponent and Nonlinear Partial Differential Equations
    • Invited
  • [Presentation] 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーのメビウス不変分解について2022

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      第64回早稲田双曲幾何幾何学的群論セミナー
  • [Presentation] 結び目と絡み目に対するエネルギーについて:分解定理、余弦公式とメビウス不変性2022

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      RIMS共同研究(公開型)「偏微分方程式の臨界現象と正則性理論及び漸近解析」
    • Invited
  • [Presentation] 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーと波動写像2022

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      九州関数方程式セミナー
  • [Presentation] 結び目と絡み目に対するメビウス・エネルギーと波動写像2022

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      第37回さいたま数理解析セミナー
  • [Presentation] Mobius energy for knots and links, and wave maps2022

    • Author(s)
      A. Ishizeki, T. Nagasawa
    • Organizer
      The 13th MSJ-SI "Differential Geometry and Integrable Systems": The 5th International Workshop Geometry of Submanifolds and Integrable Systems
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Book] 結び目のエネルギー:入門と最近の話題2022

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Total Pages
      63
    • Publisher
      大学院レクチャーノートシリーズ
  • [Remarks] 長澤 壯之 科研費による研究成果

    • URL

      http://www.saitama-u.ac.jp/sci/math/lab/nagasawa/seika.html

  • [Remarks] 埼玉大学研究者総覧 長澤 壯之

    • URL

      http://s-read.saitama-u.ac.jp/researchers/pages/researcher/TeBukxhV

URL: 

Published: 2023-12-25  

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