2023 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of variational problems in topological geometry using Sobolev manifolds
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21K18583
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下川 航也 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (60312633)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | 結び目のエネルギー / メビウス・エネルギー / 絡み目のエネルギー / 分解エネルギー / 調和写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、結び目のエネルギーに関するKusner-Sallivan予想解決に向け、変分問題に位相情報を取り込む方法を探るものであった。位相情報を解析的に扱うため、ここでは結び目の他に絡み目のエネルギーを同時に扱った。絡み目の絡み数は、ガウス写像の写像度であり、積分で表現されることから解析的な扱いが可能と考えたためである。同時に結び目については自己ガウス写像を考察する事で、両者を一体化させた議論を可能とした。結び目のメビウス・エネルギーついて既知であったメビウス不変なエネルギー分解を絡み目のエネルギーにまで拡張し、それを自己ガウス写像やガウス写像を用いて表現した。分解には（自己）ガウス写像を用いた間接表現と直接表現がある。前者からは余弦公式の容易な証明とその分解エネルギーへの拡張をもたらし、後者からは第二分解エネルギーと波動写像の関連を見出すことが出来た。後者について説明する。ガウス写像は2次元トーラスから単位球面への写像である。第二分解エネルギーをガウス写像を用いて書いたものは、Lorenz計量を持つ2次元トーラスから単位球面への調和写像のエネルギー汎関数と同じものとなる。従って、停留点は波動写像となる。第一分解エネルギーは従来から分数冪調和写像のエネルギー汎関数と類似する事が知られていた。これらにより、メビウス・エネルギーを、分数冪調和写像の類似物と波動写像の和とみなすことが可能となり、その視点から変分問題の新たな定式化を与える事が出来た。
審査付き学術誌への論文を2編投稿したが、現時点では査読中である、加えて、審査なし学術誌への投稿した論文1篇が印刷中である。
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