2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K19758
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
天野 一幸 群馬大学, 情報学部, 教授 (30282031)
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2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | 計算複雑さ / P vs. NP問題 / 離散構造 / コラッツ予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、数学の世界に存在する様々な難問を「計算」の視点から捉えなおすことで、これらの問題の根源的な難しさや、その相互の関係を解明しようとする試みである。今年度得られた成果は主に以下の２点である。
（１）著名な未解決問題であるコラッツ予想に関して、与えられた数値が１に収束するまでに必要な基本操作の回数の解析を行った。特に、無限個の自然数に対して、この回数が、奇数と偶数が等確率で独立に出現すると仮定したときの期待値を超えることの構成的証明を与えることに初めて成功した。この問題に対する証明を与えることは、約２０年に渡り未解決とされてきたものである。証明は、大規模な並列計算を通じて得られた約１９０億状態の遷移表からなるもので、全て書き出すと数テラバイトに及ぶ。このようなシンプルな命題に対しても、超大規模な証明が必要となることの証左として興味深い結果であると考える。この結果は、国内の研究会において発表し、さらなる発展に向けて研究を推進中である。
（２）与えられた自然数に対して、最短の演算回数でその数を構成する問題や、与えられた順列に対してソートに類する操作を行った場合の最長手数を求める問題等、いくつかの古くから知られる著名な数理的問題に対して、その困難さを解析するために必要な予備的計算機実験を行った。これらの実験を通じて、既に既知の結果を凌駕するアルゴリズムを得るなどの成果が得られている。今後はこれらをより推し進めることで、本研究の進展を図る予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ピックアップした問題に対する解析を通じて、既にいくつかの個別の成果が得られており、順調に進展しているものと判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究が目標とする数理的問題の本質的困難さの解析を目指して、前年度に引き続き、特にその問題の言明がよりシンプルなものを取り上げ解析する。特に、与えられた自然数を限定された演算で表現するときの表現長を求める問題や、数論の分野で古くから未解決のまま残される問題、あるいは、ラムゼー理論等に出現する離散構造的問題等をターゲットとする。個別問題への挑戦を通じて、個々の問題への進展を与えることを目指すと同時に、その研究の過程で得られる洞察をもとに、これらの問題に共通の性質が存在するか、あるいは、本質的に異なる難しさを持つのか等に関する知見を蓄積する。本研究遂行には、様々な数学的技術要素が必要となるため、積極的に異分野の研究会等に参加して、新たな発想を取り入れることを志向する。得られる成果は、順次論文としてまとめ、研究会や学会等の場において発表を行う。
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| Causes of Carryover |
数理的問題の解析を用途として購入を予定していた計算機について、他の研究課題のために購入していたものが一部流用できることが判明したため、備品費に剰余が生じた。また、参加した研究会や学会のほとんどがオンライン開催となったため、旅費に剰余が生じた。これらは、より本格的な実験のための計算機の購入費用、および、今年度の成果発表や、専門知識を得るための学会参加の旅費として使用することとする。
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