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2012 Fiscal Year Annual Research Report

格子、保型形式とモジュライ空間の総合的研究

Research Project

Project/Area Number 22224001
Research InstitutionNagoya University

Principal Investigator

金銅 誠之  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (50186847)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 長尾 健太郎  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (10585574)
江口 徹  立教大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20151970)
伊藤 由佳理  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (70285089)
伊山 修  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70347532)
菅野 浩明  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90211870)
馬 昭平  名古屋大学, 多元数理科学研究科, 助教 (80633255)
Project Period (FY) 2010-05-31 – 2015-03-31
Keywords数学 / 代数学 / 代数幾何学 / 格子 / 保型形式 / モジュライ空間 / K3曲面 / エンリケス曲面
Research Abstract

1) モジュライ空間と保型形式の研究: 射影直線の 6 点のモジュライとして現れる Segre cubic と Igusa quartic は互いに双対であり共に有界対称領域の算術商の佐武のコンパクト化でもあるが、保型形式を用いた双対写像の構成に成功した。一方、モジュライ空間の有理性の問題は困難な問題の一つである。K3曲面とその対合の組からなる2-初等的K3曲面のモジュライ空間は 75 種類の族からなるが、2 つの族を除いてそれらの有理性を証明した。
2) 有限群と自己同型群の研究: 有限単純群にしばしば現れるリーチ格子の幾何学を用いて、正標数の閉体上定義された超特異K3曲面の研究で成果が得られた。標数 3 の場合には、超特異K3曲面でアルチィン不変量が 1 の曲面の自己同型群(非可換無限群)の生成元を見いだした。また任意正標数の場合に、格子理論を使って超特異K3曲面のネロン・セヴェリ格子のある種の双対性を見いだした。
K3曲面に自己同型として作用する有限群と散在型有限単純の一つである次数 24 のマシュー群M24との関係として向井の結果が知られている。本研究で、K3曲面の固定点を持たない対合による商として現れるエンリケス曲面とM24のマシュー群の部分群である次数 12 のマシュー群M12との関係を解明しつつある。
3) 数理物理との関係: マシュー・ムーンシャインを半分にしたエンリケス曲面に関係したマシュー群 M12 のムーンシャインを見いだした。
4) その他:研究代表者は国際研究集会「Algebraic geometry, modular forms and applications to physics」, November 26-30, 2012, ICMS, Edinburgh の組織委員として集会を組織、運営した。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

保型形式を用いたモジュライ空間の研究は新たな具体例の成果が得られている。一方、モジュライ空間の有理性の判定は一般論がなくこれまであまり進展がなかった。そのような状況の中で、本研究では大きな進展を得ている。さらに2-初等K3曲面のモジュライ空間の有理性の証明により、これらのモジュライ空間が具体的に記述できる可能性のあることが判明した。期間中にはさらに成果があがることが期待される。
リーチ格子の幾何学を用いて様々なK3曲面の幾何学的研究成果が得られている。さらに格子理論を用いて超特異K3曲面のある種の双対性を見いだすことができた。期間内にはこれらをさらに進展させ論文にまとめる予定である。正標数特有に現れる超特異K3曲面の研究は 1980 年代の A. Ogus らの仕事以降大きな進展はなかったことを考慮すると、本研究の成果は重要と考える。
エンリケス曲面に自己同型として作用する有限群とマシュー群との関係の研究、エンリケス曲面の(全)自己同型群の研究も順調に進んでいる。
またエンリケス曲面に関連したムーンシャイン現象の発見がなされ、新たな展開が期待できる。

Strategy for Future Research Activity

研究方法はこれまでと同様に定期的セミナー等の他、研究集会の開催、参加を通して行う。
平成 25 年 6 月に、京都大学数理解析研究所において、モジュライ理論の発展(Development of moduli theory)をテーマにしたレクチャーシリーズと国際研究集会を連続して開催する。これは日本数学会季期研究所および京都大学数理解析研究所のプロジェクトとして採択された計画でもある。招待講演者は V. Alexeev, T. Bridgeland, I. Dolgachev, G. Farkas, B. Hassett, D. Huybrechts, J.H. Keum, B. Kim, R. Laza, E. Looijenga, T. Mochizuki, S. Mukai, H. Nakajima, I. Nakamura, V. Nikulin, C. Simpson, K. Yoshioka である。テーマはK3曲面・エンリケス曲面のモジュライ、モジュライ空間のコンパクト化、ベクトル束のモジュライ理論、表現論とモジュライである。この機会に内外の研究者との研究連絡を行いながら研究を進めていく。
研究代表者は平成 25 年 9 月に Cetraro(イタリア)で F. Catanese (Bayreuth) が主催する国際会議「Classification of Algebraic Varieties and related topics」に招待講演者として参加し研究連絡を海外の専門家と行う中で、本研究を進める予定である。

  • Research Products

    (31 results)

All 2013 2012 Other

All Journal Article (11 results) (of which Peer Reviewed: 11 results) Presentation (19 results) (of which Invited: 19 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] On G/N-Hilb of N-Hilb2013

    • Author(s)
      Akira Ishii, Yukari Ito and Alvaro Nolla de Celis
    • Journal Title

      Kyoto J. Math.

      Volume: 53 Pages: 91-130

    • DOI

      doi:10.1215/21562261-1966080

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On K3 surfaces which dominate Kummer surfaces2013

    • Author(s)
      S. Ma
    • Journal Title

      Proceedings of the American Mathematical Society

      Volume: 141 Pages: 131-137

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The moduli space of Hessian quartic surfaces and automorphic forms2012

    • Author(s)
      Shigeyuki Kondo
    • Journal Title

      J. Pure Applied Algebra

      Volume: 216 Pages: 2233--2240

    • DOI

      doi:10.1016/j.jpaa.2012.02.001

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A note on a supersingular K3 surface in characteristic 22012

    • Author(s)
      Toshiyuki Katsura, Shigeyuki Kondo
    • Journal Title

      Geometry and Arithmetic”(G. van der Geer 教授60歳記念号), Series of Congress Reports, European Math. Soc.

      Volume: 2012 Pages: 243-255

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] N=2 moonshine2012

    • Author(s)
      T. Eguchi, K. Hikami
    • Journal Title

      Phys.Lett. B

      Volume: 717 Pages: 266-273

    • DOI

      doi.org/10.1016/j.physletb.2012.09.037

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Twisted Elliptic Genus and Borcherds Product2012

    • Author(s)
      T. Eguchi, K. Hikami
    • Journal Title

      Lett. Math. Phys.

      Volume: 102 Pages: 203-222

    • DOI

      DOI 10.1007/s11005-012-0569-2

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Generalized Whittaker states for instanton counting with fundamental hypermultiplets2012

    • Author(s)
      H. Kanno , M. Taki
    • Journal Title

      JHEP

      Volume: 1205 Pages: 052

    • DOI

      10.1007/JHEP05(2012)052

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Localization with a Surface Operator, Irregular Conformal Blocks and Open Topological String2012

    • Author(s)
      H. Awata, H. Fuji, H. Kanno, M. Manabe and Y. Yamada
    • Journal Title

      Adv. Theor. Math. Phys.

      Volume: 16 Pages: 725-804

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Derived categories of small toric Calabi-Yau 3-folds and counting invariants2012

    • Author(s)
      K. Nagao
    • Journal Title

      The Quarterly Journal of Mathematics

      Volume: 63 Pages: 965--1007

    • DOI

      doi:10.1093/qmath/har025

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Motivic Donaldson-Thomas invariants of the conifold and the refined topological vertex2012

    • Author(s)
      A. Morrison, S. Mozgovoy, K. Nagao, B. Szendroi
    • Journal Title

      Advances in Mathematics

      Volume: 230 Pages: 2065--2093

    • DOI

      doi:10.1016/j.aim.2012.04.020

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The unirationality of the moduli spaces of 2-elementary K3 surface2012

    • Author(s)
      S. Ma
    • Journal Title

      Proceedings of the London Mathematical Society

      Volume: 105 Pages: 757-786

    • DOI

      doi:10.1112/plms/pds008

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Irregular states and isolated superconformal field theory2013

    • Author(s)
      菅野浩明
    • Organizer
      学振2国間交流事業日露共同研究 miniworkshop
    • Place of Presentation
      大阪科学技術センター
    • Year and Date
      20130323-20130325
    • Invited
  • [Presentation] Superconformal algebra and Mathieu group2012

    • Author(s)
      江口徹
    • Organizer
      Conference on "Algebraic geometry, modular forms and applications to physics
    • Place of Presentation
      Edinburgh
    • Year and Date
      20121126-20121130
    • Invited
  • [Presentation] Superconformal algebra and moonshine phenomenon2012

    • Author(s)
      江口徹
    • Organizer
      Conference on "Geometry and Physics"
    • Place of Presentation
      Munchen
    • Year and Date
      20121119-20121121
    • Invited
  • [Presentation] Irregular puncture and isolated N=2 superconformal field theories2012

    • Author(s)
      菅野浩明
    • Organizer
      Synthesis of integrabilities in the context of gauge/string duality
    • Place of Presentation
      Math. Department of Higher School of Economics, Moscow, Russia
    • Year and Date
      20120917-20120921
    • Invited
  • [Presentation] n-hereditary algebras2012

    • Author(s)
      伊山修
    • Organizer
      Tilting and cluster tilting for Cohen-Macaulay modules, XV Workshop and International Conference on Representations of Algebras
    • Place of Presentation
      Bielefeld大学
    • Year and Date
      20120808-20120815
    • Invited
  • [Presentation] Auslander-Reiten theory and cluster tilting for Cohen-Macaulay modules2012

    • Author(s)
      伊山修
    • Organizer
      Commutative Algebra and its Interactions with Algebraic Geometry, Representation Theory, and Physics
    • Place of Presentation
      Centro de Investigacion en Matematicas
    • Year and Date
      20120514-20120518
    • Invited
  • [Presentation] The rationality of the moduli spaces of Coble surfaces and of nodal Enriques surfaces

    • Author(s)
      金銅誠之
    • Organizer
      New Trends in Arithmetic and Geometry of Algebraic Surfaces
    • Place of Presentation
      CIRM Marseille, France
    • Invited
  • [Presentation] The rationality of the moduli spaces of trigonal curves

    • Author(s)
      馬昭平
    • Organizer
      Branched covering, degeneration and related topics
    • Place of Presentation
      首都大学東京
    • Invited
  • [Presentation] K3 surfaces and Leech roots

    • Author(s)
      金銅誠之
    • Organizer
      Conference on Groups, VOA and Related Structures in Honor of Masahiko Miyamoto
    • Place of Presentation
      筑波大学
    • Invited
  • [Presentation] K3 曲面の幾何と保型形式

    • Author(s)
      金銅誠之
    • Organizer
      大談話会
    • Place of Presentation
      名古屋大学大学院多元数理科学研究科
    • Invited
  • [Presentation] The rationality of the moduli spaces of Coble surfaces and of nodal Enriques surfaces

    • Author(s)
      金銅誠之
    • Organizer
      WCU mini-workshop on classification and construction of algebraic varieties
    • Place of Presentation
      Busan, Korea
    • Invited
  • [Presentation] Introduction to the McKay correspondence

    • Author(s)
      伊藤由佳理
    • Organizer
      Conference on Resolution of Singularities and the McKay Correspondence
    • Place of Presentation
      名古屋大学
    • Invited
  • [Presentation] tau-tilting theory

    • Author(s)
      伊山修
    • Organizer
      Workshop on categorical methods in representation theory
    • Place of Presentation
      ブリス トル大学
    • Invited
  • [Presentation] Cluster tilting for Cohen-Macaulay modules

    • Author(s)
      伊山修
    • Organizer
      Linking representation theory, singularity theory and non-commutative algebraic geometry
    • Place of Presentation
      Banff International Research Station
    • Invited
  • [Presentation] Generalized Whittaker states for instanton counting and the confluence of the punctures

    • Author(s)
      菅野浩明
    • Organizer
      5th Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics,"Integrability in topological string and field theory"
    • Place of Presentation
      Einstein at SISSA 2012, Trieste, Italy
    • Invited
  • [Presentation] Rationality of the moduli spaces of Eisenstein K3 surfaces

    • Author(s)
      馬昭平
    • Organizer
      Algebraic geometry, modular forms and application to physics
    • Place of Presentation
      エジンバラ
    • Invited
  • [Presentation] The rationality of the moduli spaces of trigonal curves

    • Author(s)
      馬昭平
    • Organizer
      低次元多様体モジュライ空間の幾何学
    • Place of Presentation
      RIMS
    • Invited
  • [Presentation] 対合付きK3曲面のモジュライの有理性

    • Author(s)
      馬昭平
    • Organizer
      ホッジ理論と代数幾何
    • Place of Presentation
      東京電機大学
    • Invited
  • [Presentation] Rationality of fields of invariants for some representations of SL(2)×SL(2)

    • Author(s)
      馬昭平
    • Organizer
      高次元双有理幾何の周辺, RIMS 6/13, 2012.
    • Place of Presentation
      RIMS
    • Invited
  • [Remarks] 研究代表者の web page

    • URL

      http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kondo/

URL: 

Published: 2014-07-24  

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