2011 Fiscal Year Annual Research Report
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22540095
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
宮崎 直哉 慶應義塾大学, 経済学部, 教授 (50315826)
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| Keywords | noncommutative geometry / symplectic geometry / asymptoric analysis / index theorem |
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| Research Abstract |
本年度は高次元の射影空間さらには重みつき射影空間(これは所謂射影トーリック代数多様体の例である)などについてそれらの構造層に作用するある条件を持つ双微分とそれに対応する構造層の環構造の変形理論について考察を行い、付随してあらわれる非可換積の指数関数について計算を行った。
射影空間の場合には構造層の変形や非可換積の指数関数の計算において構造層のコホモロジーが受け皿としての大切な役割を演じている。重みつき射影空間の場合にもおなじようなことが期待され、非可換積の指数関数の値が変形する方向によっているあり様がコホモロジー(環)に影響を与えると思われる。重みつき射影空間の構造は対応するpolytopeに反映されており、コホモロジーの構造がpolytopeを用いて記述できることが知られており、構造層の変形も対応するpolytopeからの制約を受けると想像される。
上の話題と並行して、前年度までねじれたベクトリアルバンドルにおけるディラック作用素や指数などについても考察を行ってきたが、本年度はハイセンベルグ多様体におけるスピン構造、ディラック作用素その固有値、そしてエータ関数などについても研究してきた。具体的には3次元の場合にハイゼンベルグ多様体の固有値を使って定義されるエータ関数を考えそれを直接計算するというものでる。これらの値はAtiyah-Patodi-Singerの指数定理にも密接に関連している話題であり、位相的な方法・特性類の積分によって得られる値との比較を行いつつあり今後の課題とするつもりでいる。これらを実際に行うに際しては、固有値に依存するエータ関数がどのような性質を有しているかを詳しく調べていく必要があり、幾何学的漸近解析学などでもちいられるEuler-Maclaurinの定理、Taylorの定理、またゼータ関数とBernoulli多項式などが大切な役割を演ずることになると考えられる。これらの詳細についても調べていくことも今後の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単独で行っている射影空間の構造層の変形や共同研究の解析もすすんでいるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで通りの方向で研究を進めていく予定です。
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