準線形楕円型方程式に対する自由境界問題

2010 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22540229
• Research Institution: Naruto University of Education
• Principal Investigator: 成川 公昭 鳴門教育大学, 大学院・学校教育研究科, 教授 (60116639)
• Keywords: 準線形楕円型方程式 / 自由境界 / 変分法 / 非線形解析 / Orlicz-Sobolev空間

Research Abstract

自由境界を持つ準線形楕円型方程式の研究の手始めとして、本年度は境界を固定した場合の解の構造について研究を進めた。とくに、Orlicz-Sobolev空間上で定義された、不定符号で臨界指数を持つ汎関数の解析を行い、その結果として、外力項が無限大と原点において適当な増大度をもつ場合に正値解が存在することを証明した。続いて、パラメータ付きの方程式を考え、外力項の原点付近の減少度が主要部の減少度より遅い場合の正値解の存在についての解析を行った。その結果、ある正の値を境として、それより小さいパラメータに対し少なくとも2つの正値解が存在し、大きなパラメータに対しては正値解が存在しないという結果を得た。これらの結果は、定符号の劣臨界指数を持つ外力項の場合に得られていた結果の拡張となっているが、一般の準線形方程式の場合にはp-ラプラシアンの場合のような斉次な主要部の時を除いて未解決の問題であった。これらの議論は非線形ノイマン境界条件の下でも同様に通用することが分かり、結果を非線形ノイマン問題に対しても拡張できることが分かった。
自由境界が現れる場合についてはまだ十分に研究を進めることができなかったが、ここで得られた汎関数の性質と準線形楕円型方程式の解の性質を整理し、来年度以降、自由境界が現れる汎関数の性質の研究へと研究対象を絞っていく。すでに、汎関数の臨界点、すなわち、自由境界が現れる方程式の弱解が存在することは得られているが、その解の性質を本年度得た結果から導き出すことが来年度以降の課題である。